Beweis der Äquivalenz einer Aussage für angeordnete Körper

08.11.2012, 12:07	Mathbb	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Äquivalenz einer Aussage für angeordnete Körper Meine Frage: Hallo zusammen, ich soll zeigen, dass die folgenden Aussagen äquivalenz sind: Ist $\begin{eqnarray} \epsilon \in \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ , so gibt es ein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} < \epsilon \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Der Satz lautet folgendermaßen: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon \in \mathbb R : \epsilon > 0 \Leftrightarrow (\exists n \in \mathbb N : \frac{1}{n} < \epsilon) \end{eqnarray}$ Es sind beide Richtungen zu zeigen. Ich würde mit der Richtung $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ anfangen: $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall \epsilon \in \mathbb R : \epsilon > 0 \Rightarrow (\exists n \in \mathbb N : \frac{1}{n} < \epsilon) \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} \epsilon \in \mathbb R \end{eqnarray}$ beliebig gewählt, dann gilt nach Vorraussetzung $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ ... Ich weiß nicht richtig, wie ich weitermachen muss, da es intuitiv klar erscheint, dass ein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ existieren muss, so dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} < \epsilon \end{eqnarray}$ gilt. Wie kann ich hier weiter vorgehen? Vielen Dank vorab für Eure Mühen.
08.11.2012, 16:48	Causal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Äquivalenz einer Aussage für angeordnete Körper Ich sehe da keine Äquivalenz, deine zweite Aussage macht auch wenig Sinn. Du sollst zeigen: $\begin{eqnarray} \forall \varepsilon > 0 & \exists n \in \mathbb{N} : \frac{1}{n} < \varepsilon \end{eqnarray}$ Gruß, Causal

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