Verfahren von Newton

08.11.2012, 12:56

Bobsn

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Verfahren von Newton

Hallo allerseits!

Kenn mich bei folgendem Bsp. überhaupt nicht aus, kann mir bitte jemand behilflich sein?

Lösen Sie mit Hilfe des Newton'schen Näherungsverfahrens die folgenden Gleichungen auf 4 Dezimalstellen genau (x bei Winkelfunktionen immer im Bogenmaß!):

$\begin{eqnarray*} cos x=x \end{eqnarray*}$

Wie kann ich so etwas lösen?

08.11.2012, 13:14

Steffen Bühler

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RE: Verfahren von Newton
Indem Du die Nullstelle der Funktion f(x)=cosx-x über Newton annäherst.

Viele Grüße
Steffen

08.11.2012, 13:41

Bobsn

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RE: Verfahren von Newton
Hallo!
Und genau da kenne ich mich nicht aus.

Ich hab zwar die Formel

$\begin{eqnarray*} x_n+1=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n}, (x_n)\to Nullstelle \end{eqnarray*}$

Aber wie verwende ich die nun, was ist unter $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ gemeint?
Und $\begin{eqnarray*} cosx=x \end{eqnarray*}$ sagt mir auch nicht viel, muss ich das irgenwie umformen?

08.11.2012, 13:50

Steffen Bühler

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RE: Verfahren von Newton

Zitat:

Original von Bobsn
Ich hab zwar die Formel

$\begin{eqnarray*} x_n+1=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n}, (x_n)\to Nullstelle \end{eqnarray*}$

Aber wie verwende ich die nun, was ist unter $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ gemeint?

$\begin{eqnarray*} x_0; x_1; x_2... \end{eqnarray*}$ sind einfach die x-Werte, die sich immer mehr der gesuchten Nullstelle nähern werden.

Zitat:

Original von Bobsn
Und $\begin{eqnarray*} cosx=x \end{eqnarray*}$ sagt mir auch nicht viel, muss ich das irgenwie umformen?

Ja, wie gesagt, zu f(x)=cosx-x. Für die Nullstelle dieser Funktion gilt dann logischerweise 0=cosx-x, also cosx=x.

Also, satteln wir die Hühner, berechnen f'(x), setzen x0=0 und auf geht's.

Viele Grüße
Steffen

08.11.2012, 14:17

Bobsn

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RE: Verfahren von Newton
Danke für die Erklärung.
Nur das mit dem x0=0 verstehe ich nicht, welche Werte muss ich jetzt also für $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ nehmen? Ich muss ja sicher mehrere nehmen, damit ich eine Zahl mit vier Dezimalstellen bekommen? Muss ich also mit 0 beginnen usw.?
Was ist eigentlich damit gemeint: x bei Winkelfunktionen immer im Bogenmaß?

08.11.2012, 14:48

Steffen Bühler

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RE: Verfahren von Newton
Der Wert x0 ist der Startwert. Und den setzen wir mal auf Null. Jetzt brauchen wir x1. Und da sagt uns die Formel, wie wir dahinkommen. Der Index n steht jetzt auf Null, also

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to x_{0+1}=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to x_1=0-\frac{f(0)}{f'(0)} \end{eqnarray*}$

Kannst Du jetzt x1 ausrechnen?

Viele Grüße
Steffen

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08.11.2012, 15:14

Bobsn

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RE: Verfahren von Newton
Also um $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ auszurechnen, muss $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einfach gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein?
Wie wird aber dann $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ usw. ausgerechnet? $\begin{eqnarray*} x_1 +1 \end{eqnarray*}$ , einfach den Wert von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ins $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einsetzen?

08.11.2012, 15:25

Steffen Bühler

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RE: Verfahren von Newton

Zitat:

Original von Bobsn
Also um $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ auszurechnen, muss $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einfach gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein??

Ja, weil wir x0=0 und dann dieses x0 anstelle von x in die Formel gesetzt haben. Jetzt rechne doch mal x1 aus.

Zitat:

Original von Bobsn
Wie wird aber dann $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ usw. ausgerechnet?

Da setzt Du nicht x0 für x in die Formel ein, sondern das von Dir ausgerechnete x1.

Viele Grüße
Steffen

08.11.2012, 15:33

Bobsn

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RE: Verfahren von Newton
Also für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ kommt mir $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ raus. Kann das stimmen?

08.11.2012, 15:36

Steffen Bühler

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RE: Verfahren von Newton
Richtig! Jetzt setzt Du diese 1 ein. Und nun ist in der Tat der Hinweis wichtig, daß diese 1 im Bogenmaß (und nicht etwa als 1°) zu verstehen ist.

Was bekommst Du für x2?

Viele Grüße
Steffen

08.11.2012, 15:48

Bobsn

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RE: Verfahren von Newton
Warum ist das wichtig, dass das x in Bogenmaß ist?
Was ist dann 1 im Bogenmaß?

So kommt mir nämlich für $\begin{eqnarray*} x_2=0.999850308 \end{eqnarray*}$ raus.

08.11.2012, 15:53

Steffen Bühler

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RE: Verfahren von Newton
Es geht um den Cosinus (und natürlich auch den Sinus im Nenner). Du hast wahrscheinlich cos(1°)=0,99984.. berechnet, als Du 1 in die Formel eingesetzt hast. Zu berechnen ist aber cos(1)=0,54...

Der Vollkreis ist ja nicht 360°, sondern 2pi.

Das machst Du, indem Du Deinen Taschenrechner auf RAD stellst statt auf DEG. Dann versteht er Dich.

Viele Grüße
Steffen

08.11.2012, 16:03

Bobsn

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RE: Verfahren von Newton
Verstehe. Danke!

Dann kommt für $\begin{eqnarray*} x_2=0.750363868 \end{eqnarray*}$ als Lösung raus.

Dann muss ich $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ auch als $\begin{eqnarray*} 0.54.. \end{eqnarray*}$ angeben?

08.11.2012, 16:08

Steffen Bühler

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RE: Verfahren von Newton

Zitat:

Original von Bobsn
Dann kommt für $\begin{eqnarray*} x_2=0.750363868 \end{eqnarray*}$ als Lösung raus.

Richtig. Und nun immer weiter, bis sich die vierte Dezimalstelle nicht mehr ändert.

Zitat:

Original von Bobsn
Dann muss ich $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ auch als $\begin{eqnarray*} 0.54.. \end{eqnarray*}$ angeben?

Nein, x1 hast Du richtig berechnet zu

$\begin{eqnarray*} x_1=0-\frac{f(0)}{f'(0)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =0-\frac{cos0-0}{-sin0-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1 \end{eqnarray*}$

Für Null ist es ja egal, ob Gradmaß oder Bogenmaß, Null ist immer Null.

Viele Grüße
Steffen

08.11.2012, 16:32

Bobsn

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RE: Verfahren von Newton
Also dann kommt mir bei $\begin{eqnarray*} x_3=0.739112891 \end{eqnarray*}$ raus.
bei $\begin{eqnarray*} x_4=0.739085133 \end{eqnarray*}$ und bei $\begin{eqnarray*} x_5 \end{eqnarray*}$ das gleiche.

08.11.2012, 16:43

Steffen Bühler

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RE: Verfahren von Newton
Dann bist Du fertig, die vierte Stelle ändert sich nicht mehr. Gerundet ergibt sich also die Nullstelle x=0,7391.

Und in der Tat ist, ebenfalls gerundet: cos(0,7391)=0,7391. Die Probe paßt also auch.

Viele Grüße
Steffen

08.11.2012, 16:47

Bobsn

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RE: Verfahren von Newton
Vielen Dank für die Geduld und die Hilfe! Gott

Gott

Nur noch eine Frage:

Wenn ich jetzt bei dieser Gleichung das Gleiche machen muss:

$\begin{eqnarray*} ln(x+1)=4-x^2 \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} f(x)=ln(x+1)-(4-x^2) \end{eqnarray*}$ ,oder?
Und dann muss ich nur noch die Ableitung bilden?

08.11.2012, 16:49

Steffen Bühler

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RE: Verfahren von Newton
Völlig richtig!

Viele Grüße
Steffen

08.11.2012, 16:51

Bobsn

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RE: Verfahren von Newton
Nochmals Danke für die Hilfe!

MfG,
Robert

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