Maximaler Zuwachs einer Funktion

08.11.2012, 13:16

Meisenmann

Maximaler Zuwachs einer Funktion

Hi,

ich soll den Zeitpunkt berechnen zu dem ein maximaler Absatzzuwachs bei folgender Trendfunktion zu erwarten ist:

$\begin{eqnarray*} y(t) = \frac{s}{1+e^{a-bt} } \end{eqnarray*}$

Wenn nach maximalem Absatzzuwachs gefragt ist, dann muss ich doch das Maximum der ersten Ableitung berechnen, also den Zeitpunkt t, an dem die zweite Ableitung = 0 ist?

Danke!

Gruß,
Meisenmann

08.11.2012, 13:18

klarsoweit

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RE: Maximaler Zuwachs einer Funktion
Ja.

08.11.2012, 13:30

Meisenmann

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Das ging aber schnell... vielen Dank, klarsoweit!
Gut zu wissen, dass ich nicht auf dem Holzweg bin / war.

Ich habe die o. g. Funktion mit der Kettenregel abgeleitet und erhalte folgende Fkt.:

$\begin{eqnarray*} y'(t) = \frac{s\cdot b\cdot e^{a-bt} }{(1+e^{a-bt})^2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich diese Funktion noch einmal ableite kommt ein "noch komischeres" Ergebnis dabei raus, welches wie die obige Funktion kein lokales Maximum hat.

Was mache ich falsch?

Danke!

08.11.2012, 13:48

klarsoweit

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Wie sieht denn deine 2. Ableitung aus?

08.11.2012, 14:21

Meisenmann

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Bei mir kommt folgendes heraus

$\begin{eqnarray*} \frac{b^2 \cdot s \cdot e^{a-bt}}{(1+e^{a-bt})^2} + \frac{2 \cdot b^2 \cdot s \cdot (e^{a-bt})^2}{1+e^{a-bt}} \end{eqnarray*}$

08.11.2012, 14:43

klarsoweit

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Also ich habe da was anderes raus. Da mußt du noch mehr ins Detail gehen.

08.11.2012, 15:14

Meisenmann

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ich habe folgendes gemacht

$\begin{eqnarray*} f(t) = sbe^{a-bt} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(t) = -b^2se^{a-bt} \end{eqnarray*}$
sowie
$\begin{eqnarray*} g(t) = (1+e^{a-bt})^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'(t) = 2(1+e^{a-bt})^3\cdot e^{a-bt} (-b) \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} \frac{f'(t)g(t) - f(t)g'(t)}{g(t)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-b^2se^{a-bt} \cdot (1+e^{a-bt})^2}{(1+e^{a-bt})^4} - \frac{sbe^{a-bt} \cdot 2(1+e^{a-bt})^3 \cdot e^{a-bt} (-b)}{(1+e^{a-bt})^4} \end{eqnarray*}$

und dann hier nochmal den Zähler und Nenner gekürzt

08.11.2012, 15:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von Meisenmann
$\begin{eqnarray*} g(t) = (1+e^{a-bt})^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'(t) = 2(1+e^{a-bt})^3\cdot e^{a-bt} (-b) \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} g'(t) = 2(1+e^{a-bt})^1 \cdot e^{a-bt} (-b) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Ich würde das auch nicht in 2 Brüche auseinanderziehen.

08.11.2012, 15:38

Meisenmann

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ach bin ich doch ein depp....

vielen dank

Kommt wahrscheinlich, weil ich vorher mit der Kettenregel und ()^-2 -> ()^-3 gerechnet hab.
Habs bestimmt 5x im kopf durchgerechnet und den fehler trozdem nicht bemerkt.

ich werde jetzt versuchen mit der richtigen ableitung das maximum zu bestimmen

gruß,
meisenmann

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