Aufgabe zur Matrixenmultiplikation und zur Inversen Matrix [einstufige/mehrstufige Prozesse]

08.11.2012, 13:45	isim55	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zur Matrixenmultiplikation und zur Inversen Matrix [einstufige/mehrstufige Prozesse] Hallo liebes Forum, ich habe eine Aufgabe versucht zu lösen und würde euch gerne meinen Rechenweg zeigen. Meine Lehrerin meint, dass ich irgendetwas falsch gemacht habe. Was falsch ist, weiß ich aber nicht. Eigentlich war ich anfangs von meiner Lösung überzeugt. Ich hoffe ihr könnt mir sagen, ob ich es verstanden habe oder das Thema total an mir vorbei ging. Hier die Aufgabe, dabei erläutere ich euch mein Rechenweg und stelle zwei Fragen. "Eine Fabrik stellt aus drei Rohstoffen R drei Baugruppen B her, die zu zwei Endprodukten E weiterverarbeitet werden (Fig. 3). Eine Einheit von R1 kostet 0,30€, von R2 3€ und von R3 2,10€. Wie viele Einheiten an E1 und E2 können produziert werden, wenn im Lager 168 Einheiten R1, 110 Einheiten R2 und 68 Einheiten R3 vorrätig sind?" [attach]26586[/attach] Mein Rechenweg Als aller erstes habe ich aus dem mehrstufigen Prozess einen einstufigen Prozess gemacht, in dem ich einfach die beiden Matrizen miteinander multipliziert habe. Dann hatte ich die Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3,5 & 18 \\ 1 & 14 \\ 1 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann habe ich mir überlegt es gilt ja $\begin{eqnarray} \vec{y} = A\vec{x} \end{eqnarray}$ . Dabei beschreibt der Vektor y die Ausgangsprodukte und Vektor x die Endprodukte. 1. Frage:* Meine Lehrerin meint, dass in diesem Fall die Rohstoffe der Vektor x ist und der Vektor y die Endprodukte. Das heißt, ich müsste die Matrix die ich ausgerechnet habe, einfach mit dem Vektor y, der den Bedarf der Rohstoffe angibt, multiplizieren und schon hätte ich mein Ergebnis. Im Buch steht aber deutlich, dass Vektor y die Ausgangsprodukte beschreibt und Vektor x die Endprodukte. Meine Lehrerin, und ein anderer Schüler der derselben Meinung war, meinen aber, dass diese Definition aufgabenspezifisch ist. Was stimmt denn nun? Ich habe mich an die Aussagen im Buch gehalten und deswegen mit der inversen Matrix gerechnet, allerdings kam raus, dass die Matrix keine inverse Matrix besitzt. Aus diesem Grund, habe ich eine Alternativrechnung gemacht, in dem ich die Werte in die Formel $\begin{eqnarray} \vec{y} = A\vec{x} \end{eqnarray}$ eingesetzt habe. So kam ich auf: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 168 \\ 110 \\ 68 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3,5 & 18 \\ 1 & 14 \\ 1 & 8 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann habe ich ein Gleichungssystem aufgestellt und nach x1 und x2 aufgelöst. Dabei kam ich auf x1 = 12 und x2 = 7. 2. Frage:* Warum komme ich mit der Alternativrechnung auf ein Ergebnis mit der inversen Matrix aber nicht? Das heißt ja, dass Rechnungen mit der inversen Matrix nicht immer klappen. Wann klappen sie und wann nicht? Ich bedanke mich jetzt schonmal bei euch und hoffe der Text war nicht zu lang. Mit freundlichen Grüßen isim55 Edit opi: Bild angehängt, Link entfernt. Bilder bitte immer direkt im Board hochladen.
08.11.2012, 20:02	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich würde es umgekehrt machen. Du hast ja schon die Rohstoff-Endprodukt-Matrix richtig berechnet. Ich würde jetzt folgende Gleichung aufstellen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} & e_1 & e_2 \\ r_1 & 3,5 & 18 \\ r_2 & 1 & 14 \\ r_3 & 1 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} E_1 \\ E_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_1 & 168 \\ r_2 &110 \\ r_3 &68 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_1 ...r_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e_1, e_2 \end{eqnarray}$ sind die Zeilen- bzw. Spaltenbezeichnungen. $\begin{eqnarray} E_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E_2 \end{eqnarray}$ sind die Mengen der Endprodukte 1 und 2, die es zu berechnen gilt. Eine Inverse der Rohstoff-Endprodukt-Matrix zu bilden ist nicht möglich, da sie nicht quadratisch ist (Anzahl der Spalten = Anzah der Zeilen). Insofern musst du mit einem Gleichungssystem die Mengen der Endprodukte ermitteln. Mit freundlichen Grüßen.
08.11.2012, 20:41	isim55	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank für die schnelle Antwort. Genauso wie du habe ich das ja auch gemacht und bin auf 12 E1 Produkte und 7 E2 Produkte gekommen. Aber: Ich dachte das kann man auch mit der inversen Matrix berechnen. Immerhin ist ja der Sinn eine inverse Matrix zu bilden den "Umkehrprozess" zu bilden. Also wenn man die Ausgangsprodukte gegeben hat und auf die Endprodukte kommen will. Aber anscheinend klappt das nicht immer und wenn man das sowieso mit einem Gleichungssystem lösen kann, dann macht das die inverse Matrix ja irgendwie unnötig. Hoffe du verstehst mein Problem.
08.11.2012, 21:06	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast alles richtig gemacht. Ich gebe zu, dass hätte ich auch schon in meinem ersten Beitrag schreiben können. Ich hab da was überlesen. Die Matrizen-Gleichung die wir beide aufgestellt haben gilt ja allgemein, unabhängig davon was gesucht ist. Jetzt suchst Du die Menge der Endprodukte die hergestellt werden können. Normalerweise würdest du bei deiner Gleichung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3,5 & 18 \\ 1 & 14 \\ 1 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auf die linke Seite bringen; also die Inverse bilden. Das geht aber nicht, da die Matrix nicht quadratisch ist. Das ist zwar schade, aber man kann es nicht ändern. Wenn die Matrix jetzt aber doch quadratisch wäre, dann macht es unter Umständen Sinn einfach die Inverse zu bilden. Man muss ja nur einmal die Inverse bilden. Danach kann man dann für jede beliebige Mengenkonstellation an Endprodukten direkt, durch Matrizenmultiplikation, die benötigten Mengen an Rohstoffe ermitteln. Das kann einfacher sein, als jedes Mal ein Gleichungssystem zu lösen. Letztendlich sind es zwei Weg, die nach Rom führen. Wobei der eine Weg immer beschritten werden kann (Lösung ein LGS). Grüße.
09.11.2012, 17:20	isim55	Auf diesen Beitrag antworten »
Super ! Vielen vielen Dank ! Dann hatte ich ja doch recht

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