rationales intervall mit reeller zahl

08.11.2012, 14:25

Un-aachen

rationales intervall mit reeller zahl

Meine Frage:
Hallo zusammen :-)

Bräuchte mal einen denkschupser zu folgender Aufgabe:

Zeige das es im Intervall [5/4,3/2] eine reelle Zahl a gibt mit a^2=2.

Meine Ideen:
Brauche einen Ansatz

08.11.2012, 15:19

Mystic

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RE: rationales intervall mit reeller zahl
Naja, die Funktion f(x)=x² ist ja wohl stetig auf dem Intervall [5/4,3/2] und f(5/4)<2, aber f(3/2)>2... Bringt dich das auf keine Idee? verwirrt

08.11.2012, 15:34

Un-aachen

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Ich denke an den zwischenwertsatz....

08.11.2012, 16:12

Mystic

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Bingo!

08.11.2012, 21:39

Un-aachen

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Ohhh bingo xD Problem ich hasse dieses erklären in mathematischer Form ... wie mache ich das? Ich weiß das ihr nicht einfach lösungen schreibt, ist auch gut so nur ich weiß nicht weiter, aber den zwischenwertsatz habe ich verstanden.

08.11.2012, 21:50

Mystic

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Hm, wo ist dein Problem? Ich würde mal den Zwischenwertsatz anschreiben, wie er z.B. in der Wikipedia steht

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} f: [a,b] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine stetige reelle Funktion, die auf einem Intervall definiert ist. Dann existiert zu jedem $\begin{eqnarray*} u\in [f(a), f(b)] \end{eqnarray*}$ (falls $\begin{eqnarray*} f(a)\leq f(b)) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} u\in [f(b), f(a)] \end{eqnarray*}$ (falls $\begin{eqnarray*} f(b)< f(a) \end{eqnarray*}$ ) ein $\begin{eqnarray*} c\in [a,b \end{eqnarray*}$ ] mit $\begin{eqnarray*} f\left(c\right)=u \end{eqnarray*}$

und dann eben jede einzelne Größe so belegen, dass es für die Aufgabe passt... Welche Belegungen wären das hier?

08.11.2012, 22:49

Un-aachen

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also:

$\begin{eqnarray*} f: [\frac{5}{4},\frac{3}{2}] -> \mathbb R \end{eqnarray*}$
Dann $\begin{eqnarray*} \exists a\in [f\frac{5}{4},f\frac{3}{2} ] \end{eqnarray*}$
ein $\begin{eqnarray*} c\in [\frac{5}{4} , \frac{3}{2}] mit f(c)=a \end{eqnarray*}$

Das wäre so quasie die Belegung.. meiner ansicht nach

08.11.2012, 22:55

Mystic

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Hm, du hast u in dem Satz nicht belegt (bei dir heißt es seltsamerweise a) und vor allem die Funktion f nicht... Auch ist dieser Anfang

$\begin{eqnarray*} \exists a\in [f\frac{5}{4},f\frac{3}{2} ] \end{eqnarray*}$

mit dem Existenzquantor ein Unsinn... Aus logischer Sicht wäre eher der Allquantor angebracht, aber auch der macht keinen Sinn, da wir ja eine feste Belegung der Variablen vornehmen müssen...

08.11.2012, 23:01

Un-aachen

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ohh stimmt dann muss man anstatt dem existenzquantor , die bezeichnung *dann existiert zu jedem u element von .....* nehmen.

08.11.2012, 23:08

Un-aachen

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und die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(\frac{5}{4})<2<f(\frac{3}{2}) \end{eqnarray*}$
und die Funktion ist stetig, da f(x)=x^2 ist.

08.11.2012, 23:27

Mystic

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Zitat:

Original von Un-aachen
ohh stimmt dann muss man anstatt dem existenzquantor , die bezeichnung *dann existiert zu jedem u element von .....* nehmen.

Wie ich schon sagt, wäre da eher der Allquantor angebracht, denn es steht ja oben

Zitat:

[...]Dann existiert zu jedem $\begin{eqnarray*} u\in [f(a), f(b)] \end{eqnarray*}$ [...]

Aber hier muss du tatsächlich ein konkretes u einsetzen...

09.11.2012, 07:13

Un-aachen

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Das u wäre dann vllt wieder a^2 was ja laut Aufgabenstellung 2 ist.
Der zwischenwertsatz besagt, dass jeder funktion zwischen f(a) und f(b) angenommen wird. Oder wäre es dann sqrt (2) , weil man das a verwendet?

Danke schonmal für deine Bemühungen :-)

09.11.2012, 07:17

Un-aachen

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Ich denke es ist sqrt 2 da das a1,41.. ergibt und das ein Wert ist der knapp unter 3/2 liegt, was ja fürs Kriterium wichtig ist der:-)

09.11.2012, 09:27

Mystic

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Zitat:

Original von Un-aachen
Ich denke es ist sqrt 2 da das a1,41.. ergibt und das ein Wert ist der knapp unter 3/2 liegt, was ja fürs Kriterium wichtig ist der:-)

Hm, kann es sein, dass du jetzt erst merkst, dass wir die ganze Zeit über die $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ reden? geschockt

Aber eigentlich spielt das ja auch keine Rolle und ich würde das tatsächlich in der Lösung nicht einmal erwähnen... Die ganze Aufgabe ist, wie gesagt, eine Anwendung des Zwischenwertsatzes, wo du nur die darin vorkommenden Variablen geeignet belegen musst...

09.11.2012, 09:35

Un-aachen

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Gestern habe ich mal darüber nachgedacht wusste aber nnicht das man es braucht xD dann schreibe ich da a^2 hin und kann ja daneben in klammern schreiben das a Wurzel2 ist ........

Vielen vielen dank für die super Hilfe :-) und vor allem für die schnellen antworten :-)

09.11.2012, 10:55

Mystic

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Gern geschehen... Wink

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