Konstruktion eines 2n-Ecks

08.11.2012, 13:56	GeoMat	Auf diesen Beitrag antworten »
Konstruktion eines 2n-Ecks Meine Frage: Hallo liebe Matheboardler. Seien M_1, ..., M_2n Seitenmittelpunkte eines unbekannten 2n-Ecks. Wie kann man ein 2n-Eck konstruieren, so dass M_1, ... , M_2n die Seitenmittelpunkte sind? Ist die Konstruktion eindeutig? Existiert zu jeder Folge A_1 , ... , A_2n von Punkten, so dass M_i der Mittelpunkt von A_iA_i+1 ist für i= 1, ..., 2n. (A_2n+1 = A_1)? Meine Ideen: Helfen soll mir eine geordnete Verkettung von Punktspiegelungen. In der Vorlesung hatten wir die Konstruktion eines (2n+1)-Eckes besprochen. Wir fanden heraus, dass A1 Fixpunkt der Verkettung von Punktspiegelungen um M_1, dann M_2, ..., M_2n. Diese Verkettung ist wieder eine Punktspiegelung, deren Fixpunkt wir konstruieren konnten. Das gleiche System habe ich für das (2n-Eck) probiert. Leider ergibt die Verkettung einer geraden Anzahl von Punktspiegelungen eine Translation. Translationen haben nur einen Fixpunkt, wenn sie Identitätsabbildung sind. Komme dahingehend nicht weiter. Zu Eindeutigkeit ist mir noch nichts eingefallen. Es dürfte allerdings nicht zu jeder Punktfolge ein (2n-Eck) zu konstruieren. Gegenbeispiel dafür wäre, wenn die Punkte alle auf einer Geraden lägen.
08.11.2012, 14:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur mal als Einwurf: Für n=4 ist es ja eine bekannte Tatsache, dass die Mittelpunkte der vier Seiten stets ein Parallelogramm bilden: Beweis: Parallelogramm in jedem Viereck Insofern kann es für ein Mittelpunktviereck, das kein Parallelogramm ist, kein Ausgangsviereck geben.
08.11.2012, 15:11	GeoMat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HAL 9000, ein Gegenbeispiel zu finden, ist für mich auch kein Problem. Aber dein Hinweis zum Mittenviereck ist natürlich sehr schön! Ich denke für die Aufgabe soll man erstmal voraussetzen, dass eine Konstruktion funktioniert.
08.11.2012, 15:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Identifiziert man Punkte mit ihren Ortsvektoren und sind $\begin{eqnarray} x_1,x_2,\ldots,x_{2n},x_{2n+1}=x_1 \end{eqnarray}$ die Punkte des $\begin{eqnarray} 2n \end{eqnarray}$ -Ecks, so ist $\begin{eqnarray} m_i = \frac{1}{2} \left( x_{i} + x_{i+1} \right) \, , \ \ 1 \leq i \leq 2n \end{eqnarray}$ der Mittelpunkt der Strecke von $\begin{eqnarray} x_{i} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x_{i+1} \end{eqnarray}$ . Die Gleichungen $\begin{eqnarray} x_{i} + x_{i+1} = 2 m_i \, , \ \ 1 \leq i \leq 2n \end{eqnarray}$ bestimmen ein Vektorgleichungssystem, wobei die $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ die Unbekannten sind. Man kann es wie beim Gaußschen Algorithmus nach $\begin{eqnarray} x_1,x_2,\ldots,x_{2n} \end{eqnarray}$ auflösen. Es bietet sich an, einen konkreten Fall, z.B. $\begin{eqnarray} 2n=4 \end{eqnarray}$ , einmal durchzurechnen. Dabei stellt sich heraus, daß die Gleichungen abhängig sind. Das Problem ist im allgemeinen, wenn also die $\begin{eqnarray} m_i \end{eqnarray}$ irgendwie vorgegeben werden, unlösbar (für $\begin{eqnarray} 2n=4 \end{eqnarray}$ hat ja HAL 9000 das Phänomen bereits beschrieben). Da hier aber Lösbarkeit vorausgesetzt wird, kann man daraus eine Beziehung zwischen den $\begin{eqnarray} m_i \end{eqnarray}$ folgern und die Lösungen danach konkret angeben. In der Euklid-Datei im Anhang ist der Fall $\begin{eqnarray} 2n=6 \end{eqnarray}$ behandelt.

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