Ableitung von e^ix

08.11.2012, 15:16

Vodkalfan93

Ableitung von e^ix

Meine Frage:
Hallo ihr Mathecracks smile

neulich hat unser Matheprof die komplexen Zahlen und somit auch die imaginäre Zahl i eingeführt. Darauf hin hat er uns bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} e^{i*x} \end{eqnarray*}$ = cos x + i*sin x entspricht (was ich auch verstanden habe). Soweit sogut

Im nächsten Schritt widmete er sich der Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{i*x} \end{eqnarray*}$ .

f(x) = $\begin{eqnarray*} e^{i*x} \end{eqnarray*}$
f´(x) = $\begin{eqnarray*} i*e^{i*x} \end{eqnarray*}$
f´´(x) = $\begin{eqnarray*} -1*e^{i*x} \end{eqnarray*}$
f´´´(x) = $\begin{eqnarray*} -i*e^{i*x} \end{eqnarray*}$
f´´´´(x) = $\begin{eqnarray*} e^{i*x} \end{eqnarray*}$

Hier konnte ich nicht mehr nachvollziehen, wie er auf oben genannte Ableitungen gekommen ist.

Meine Ideen:
Also das für mich Naheliegenste ist, dass hier die Kettenregel angewendet wurde. Würde dann demnach f(x)= $\begin{eqnarray*} e^{3i*x} \end{eqnarray*}$
f´(x) = $\begin{eqnarray*} 3i*e^{3i*x} \end{eqnarray*}$ ergeben?

Ein Mitkommilitone meinte, dass es eine Analogie zur Ableitung von sin x gibt. Also f´´´´(x) von sin x ist wieder sin x genau wie f´´´´(x) von $\begin{eqnarray*} e^{i*x} \end{eqnarray*}$ wiederum $\begin{eqnarray*} e^{i*x} \end{eqnarray*}$ ergibt. Doch ich verstehe diesen Zusammenhang nicht

Bedanke mich jetzt schon mal für eure Hilfe

08.11.2012, 15:22

Cheftheoretiker

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RE: Ableitung von e^ix
Hi,

wenn die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{ix} \end{eqnarray*}$ gegeben ist, dann lautet die erste Ableitung - wie du richtig gebildet hast - $\begin{eqnarray*} f'(x)=ie^{ix} \end{eqnarray*}$ .

Dabei wird lediglich die Kettenregel angewendet indem man die äußere mit der inneren Ableitung multipliziert.

die zweite Ableitung lautet dann, $\begin{eqnarray*} f''(x)=i\cdot ie^{ix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i\cdot i=i^2=-1 \end{eqnarray*}$ demnach kann man auch $\begin{eqnarray*} f''(x)=-1e^{ix} \end{eqnarray*}$ schreiben. smile

Nun verständlich?

09.11.2012, 18:12

Bananenliebhaber

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Vielen Dank, habe es jetzt gerafft smile

Aber kann mir jemand evt. noch den Zusammenhang zwischen der Ableitug von sin x und der von $\begin{eqnarray*} e^{i*x} \end{eqnarray*}$ erklären? Also der Kommilitone hat es mit der Euler´schen Relation $\begin{eqnarray*} e^{i*x}=cos x + isin x \end{eqnarray*}$ erklärt, aber ich verstehe den Zusammenhang einfach nicht.

Wäre super, wenns mir jemand erklären könnte

09.11.2012, 18:43

magic_hero

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Leite doch einfach mal die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=cos x + isin x \end{eqnarray*}$ vier Mal ab. Dann siehst du, dass dasselbe Ergebnis rauskommt.

09.11.2012, 19:09

Bananenliebhaber

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Super, so simpel und ich kam selbst nicht drauf Hammer

Danke, habt mir weitergeholfe

10.03.2025, 18:54

alphabetagama

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Zitat:

Original von magic_hero
Leite doch einfach mal die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=cos x + isin x \end{eqnarray*}$ vier Mal ab. Dann siehst du, dass dasselbe Ergebnis rauskommt.

Hallo zusammen

Ich habe die gleiche Frage, wie der Zusammenhang ist und bin auf diese Antwort gestoßen.

Wenn ich dies 4 mal ableite, sehe ich nicht, wie der Zusammenhang mit e^ix ist.

f(x) = cos(x) + isin(x)

f'(x) = icos(x) - sin(x)

f''(x) = -isin(x) - cos(x)

f'''(x) = sin(x) - icos(x)

f''''(x) = cos(x) - icos(x)

Oder stehe ich einfach aufm Schlauch?

Ich bedanke mit über eine Erklärung smile

10.03.2025, 19:26

Helferlein

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Dann schau Dir die vierte Ableitung mal genau an. Da ist Dir ein eklatanter Fehler unterlaufen.

10.03.2025, 20:16

alphabetagama

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stimmt.

f''''(x) = cos(x) + isin(x)

Also kommt man wieder zu f(x). Aber verstehe immer noch nicht den Zusammenhang mit e^ix.

Ich danke dir smile

11.03.2025, 09:05

Elvis

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Der Zusammenhang ist die "Eulersche Formel" $\begin{eqnarray*} e^{ix}=cos(x)+i\cdot sin(x) \end{eqnarray*}$ .

11.03.2025, 13:41

alphabetagama

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Danke für die Antwort, aber ich verstehe nicht warum?

Ist es einfach, weil beide Funktionen nach der 4. Ableitung wieder die ursprüngliche Funktion haben? Aber was bringt es uns?

Danke

11.03.2025, 13:54

Steffen Bühler

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RE: Ableitung von e^ix
Willkommen im Matheboard!

Auch die anderen Ableitungen sind identisch:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=i \cdot e^{ix} = i \cos(x) - \sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-e^{ix}=-i \sin(x) - \cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=-i \cdot e^{ix}=\sin(x) - i \cos(x) \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

11.03.2025, 15:12

Elvis

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Bei Wikipedia siehst du unter dem Stichwort "Eulersche Formel" dass sich die komplexe Exponentialfunktion durch sin und cos ausdrücken lässt, und dass sich die Winkelfunktionen sin und cos durch die e-Funktion ausdrücken lassen. Das ist doch sehr schön, und man kann damit alles mögliche berechnen und versteht diese Funktionen viel besser, wenn man den Zusammenhang zwischen völlig unterschiedlichen Funktionen kennt. Praktische Anwendung z.B. in der Elektrotechnik siehe Wikipedia "Komplexe Wechselstromrechnung".

12.03.2025, 20:03

mYthos

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Und hier im Board:

Komplexe Amplitude(Wechselstromlehre)

[WS] Komplexe Zahlen (weiter unten: Komplexer Wechselstrom)

mY+

12.03.2025, 20:38

alphabetagama

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Danke für die Antworten. Denke ich habs nun Big Laugh

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Ableitung von e^ix

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