Beweis konvergente Folge: Supremum und Infimum

08.11.2012, 16:45

DarthVader

Beweis konvergente Folge: Supremum und Infimum

Hallo zusammen,

Folgende Aufgabe ist zu lösen und ich hänge da am Beweis. Die Aufgabe lautet:

Sei $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge in IR. Beweisen Sie, dass mindestens eine der folgenden Aussagen richtig ist:

(i) $\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb N : x_n=sup_{n \in \mathbb N}(x_n) \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb N : x_n=inf_{n \in \mathbb N}(x_n) \end{eqnarray*}$

Voraussetzung:
$\begin{eqnarray*} (x_n)_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ ist konvergente Folge in IR.
Behauptung:
(siehe oben)

Beweis(idee): (1)
Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ konvergent und damit beschränkt und es gilt: $\begin{eqnarray*} {\exists g \in \mathbb R} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} {\forall \epsilon>0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} {\exists N \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \wedge n \geq N: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} {|x_n-g|<\epsilon} \end{eqnarray*}$ .
Also existiert $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_n=g \end{eqnarray*}$ .

Jetzt sind zwei Fälle zu unterscheiden:
(1) $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ist monoton steigend: $\begin{eqnarray*} x_{n-1} \leq x_n \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ist monoton fallend: $\begin{eqnarray*} x_{n-1} \geq x_n \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

zu (1):
Sei also $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ also eine monoton steigende und beschränkte Folge. Aus diesem Grund hat sie ein Supremum $\begin{eqnarray*} S=sup(x_n) \end{eqnarray*}$ . Wir finden jetzt ein n, sodass gilt: $\begin{eqnarray*} x_n=S \end{eqnarray*}$ .

(...und hier weiß ich nicht weiter...)

Beweis(idee): (2)
Mit der Definition der Cauchy-Folge arbeiten. Hier hätte ich aber keinen Ansatz.

Ich würde mich sehr freuen, wenn sich jemand mir annehmen kann. Vielen Dank schon mal smile

08.11.2012, 17:03

Mazze

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Zitat:

Jetzt sind zwei Fälle zu unterscheiden:

Das stimmt nicht . Betrachte die Folge $\begin{eqnarray*} x_n = (-1)^n \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . Diese Folge ist weder monoton fallend noch steigend, aber sie konvergiert und besitzt sogar Supremum und Infimum. (n = 1 infimum, n = 2 supremum)

Der Punkt der Aufgabe ist ja, dass bei konvergenten Folgen mindestens ein Folgenglied existiert, welche gleich dem Supremum oder dem Infimum ist. Mit anderen Worten, eine konvergente Zahlenfolge in R besitzt ein Maximum oder ein Minimum.

Den Beweis erbringt man gut mittels Widerpspruch, angenommen die Folge würde ihr Supremum und ihr Infimum nicht annehmen. Zeige, dass die Folge dann zwei Häufungspunkte hat.

08.11.2012, 17:14

DarthVader

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Vielen Dank. Das bringt mich ein gutes Stück weiter. Dann werde ich mich da mal ransetzen und poste dann später meinen Beweis.

08.11.2012, 18:34

Mazze

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Da ich jetzt gleich weg muss noch einiges zu meiner Beweis idee. Wir haben eine beschränkte Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ , sprich Supremum und Infimum existieren. Nehmen wir an die Folge nimmt nicht Ihr Supremum an. Dann gilt :

Für jedes Folgenelement $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ was nahe am Supremum ist gibt es ein Folgenelement $\begin{eqnarray*} x_m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m > n \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} x_m > x_n \end{eqnarray*}$ . Dies gilt nur, wenn $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ das Supremum nicht annimmt. (Diese Aussage wäre im Zweifel noch zu beweisen) So, mit Hilfe dieser Aussage können wir folgende Folge konstruieren : Sei dazu s das Supremum der Folge :

$\begin{eqnarray*} \epsilon_n = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tilde{x}_0 = x_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tilde{x}_{n+1} = \inf_{m > n, x_m > s - \epsilon_n}x_m \end{eqnarray*}$

Diese Folge ist eine Teilfolge von $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ und konvergiert gegen s. Du kannst eine analoge Folge für das Infimum definieren. Da Infimum und Supremum nach unserer Annahme unterschiedlich sein müssen folgt so der Widerspruch. Die Existenz dieser Folge hängt direkt davon ab, ob die Folge x_n ihr Supremum annimmt oder nicht.

Falls jemand eine bessere Idee hat, ich müsste jetzt weg also übernehmt ruhig. Ansonsten dürfte meine Idee so aber korrekt sein.

08.11.2012, 19:01

DarthVader

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Noch einmal Danke für deine tolle Hilfe und deinen Tipps! Ich habe mir jetzt folgenden Beweis aufgeschrieben, der glaube ich ähnlich zu dem abläuft, wie der von Mazze (vielleicht schaut noch wer anderes drüber):

Beweis (durch Widerspruch):

Sei $\begin{eqnarray*} x_{n}^{*} \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge von $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ . Angenommen die Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ hat kein Supremum oder Infimum. Es existiert also eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} x_{n}^{*} \end{eqnarray*}$ , die nicht denselben Häufungspunkt besitzt wie $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} lim(x_{n}^{*})=g^{*} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} lim(x_{n})=g \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ , dann ist
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon^{*}:=\frac{\epsilon}{2} \exists n \in \mathbb N \forall n \geq N: |x_{n}^{*}-x_n| \leq |x_{n}^{*}-g^{*}|+|x_n-g| \leq \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Da aber die Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ nach Annahme kein Supremum oder Infimum hat, folgt $\begin{eqnarray*} g^{*} \neq g \end{eqnarray*}$ und hat damit zwei Häufungspunkte. Das steht im Widerspruch zur Behauptung (im Widerspruch zur Definition einer Teilfolge).

09.11.2012, 09:11

Mazze

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Zitat:

Angenommen die Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ hat kein Supremum oder Infimum. Es existiert also eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} x_{n}^{*} \end{eqnarray*}$ , die nicht denselben Häufungspunkt besitzt wie $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ .

Nein, das ist so nicht richtig. Ich sagte, wir nehmen an die Folge x_n nimmt ihr Supremum nicht an. Ich sagte nicht, dass sie keines hat. Wenn man sagt , dass das Supremum nicht angenommen wird, dann gibt es kein Element der Menge was gleich dem Supremum ist.

Beispiel :

[0,1] hier wird das Supremum angenommen (die 1 gehört zur Menge)

[0,1) hier wird das Supremum nicht angenommen ( die 1 gehört nicht zur Menge)

Und genau darum geht es in der Aufgabe. Jede konvergente Folge nimmt ihr SUpremum oder ihr Infimum an ( manchmal beides, aber niemals keins von beiden).

Dein Beweis macht daher so auch noch nicht völlig Sinn. Bisher haben wir nur angenommen, dass das Supremum nicht angenommen wird. Dann haben wir eine Teilfolge konstruiert die dann gegen das Supremum konvergiert. Dann muss die Folge x_n aber auch gegen das Supremum konvergieren. Das ist bis jetzt noch kein Widerspruch.

Konstruiere eine ähnliche Teilfolge die gegen das Infimum konvergiert. Da $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ nicht konstant sein kann muss dann das Infimum ungleich dem Supremum sein. Dann kann x_n aber nicht konvergent sein. Widerspruch!. Damit kann mindestens eine der beiden konstruierten Folgen nicht existieren.

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