Grenzwerte

08.02.2007, 09:17

Cru

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Grenzwerte

Hallo zusammen,
ich habe folgende Aufgabe, komme aber nicht auf die Lösung.
Kann mir vielleicht hier einer Helfen oder einen Denkansatz geben?
Ich soll den Grenzwert ermitteln!
$\begin{eqnarray*} a_{n}:= \frac{n\cdot\sqrt{4n^{2}-1}}{\sqrt{9n^{3}-1}} \end{eqnarray*}$

Danke

08.02.2007, 09:21

bounce

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Hey,

Ich glaube wenn du den Nenner so erweiterst,dass du die 3. binomische Formel anwenden kannst, kommst du weiter :-)

08.02.2007, 09:32

Cru

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mmhh,
danke für die Schnelle Antwort!
Wie kann ich denn den Nenner erweitern für die 3. Binomische Formel?
Gib mir mal ein Tipp! Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.02.2007, 09:33

Hanker

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RE: Grenzwerte

Zitat:

Original von Cru
Hallo zusammen,
ich habe folgende Aufgabe, komme aber nicht auf die Lösung.
Kann mir vielleicht hier einer Helfen oder einen Denkansatz geben?
Ich soll den Grenzwert ermitteln!
$\begin{eqnarray*} a_{n}:= \frac{n\cdot\sqrt{4n^{2}-1}}{\sqrt{9n^{3}-1}} \end{eqnarray*}$

Danke

Wenn Du um die Stetigkeit der Wurzelfunktion weisst, dann würde ich einfach mal das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ im Zähler unter die Wurzel bringen und dann den resultierenden Bruch analysieren...

08.02.2007, 09:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von bounce
Ich glaube wenn du den Nenner so erweiterst,dass du die 3. binomische Formel anwenden kannst, kommst du weiter :-)

Unfug.

Klammere in 4n² - 1 ein n aus und in 9n³ - 1 das n³. Dann das aus der Wurzel rausziehen und kürzen.

08.02.2007, 09:40

bounce

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najo so geht das natürlich auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

, ist wohl noch zu früh für mich.

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08.02.2007, 09:42

Cru

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also...
$\begin{eqnarray*} a_{n}:= \frac{n^{2}\cdot\sqrt{4-\frac{1}{n^{2}}}}{\sqrt{9n^{3}-1}} \end{eqnarray*}$
ist das soweit richtig?
Wie bekomme ich denn $\begin{eqnarray*} n^{3} \end{eqnarray*}$ aus der Wurzel?

08.02.2007, 09:45

Hanker

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Zitat:

Original von klarsoweit
Klammere in 4n² - 1 ein n aus und in 9n³ - 1 das n³. Dann das aus der Wurzel rausziehen und kürzen.

Aber auch dabei brauchst Du die Stetigkeit der Wurzel, um Deine Schlußfolgerungen zu legitimieren.

08.02.2007, 09:47

Hanker

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Zitat:

Original von Cru
also...
$\begin{eqnarray*} a_{n}:= \frac{n^{2}\cdot\sqrt{4-\frac{1}{n^{2}}}}{\sqrt{9n^{3}-1}} \end{eqnarray*}$
ist das soweit richtig?
Wie bekomme ich denn $\begin{eqnarray*} n^{3} \end{eqnarray*}$ aus der Wurzel?

Wie wärs damit?:
$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{\frac{4n-\frac{1}{n}}{9-\frac{1}{n^3}}} \end{eqnarray*}$

Und dann guck Dir mal den Bruch an!

08.02.2007, 09:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von Hanker
Aber auch dabei brauchst Du die Stetigkeit der Wurzel, um Deine Schlußfolgerungen zu legitimieren.

Ich wüßte nicht, wo die Stetigkeit erforderlich ist.
Wenn statt der Wurzel, die Gaußklammer da stünde, wäre es vom Vorgehen und vom Ergebnis her das gleiche.

08.02.2007, 10:03

Cru

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Zitat:

Original von Hanker

Wie wärs damit?:
$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{\frac{4n-\frac{1}{n}}{9-\frac{1}{n^3}}} \end{eqnarray*}$

Und dann guck Dir mal den Bruch an!

also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^3} \end{eqnarray*}$ laufen gegen 0! Richitg?
praktisch
$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{\frac{4n-0}{9-0}} \end{eqnarray*}$

08.02.2007, 10:04

Hanker

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Die Stetigkeit der Wurzelfunktion liefert folgende Implikation:
$\begin{eqnarray*} a_n\longrightarrow a \Rightarrow \sqrt{a_n}\longrightarrow \sqrt{a} \end{eqnarray*}$
Oder salopp formuliert:
Die Stetigkeit garantiert, dass die Wurzel Dir das Konvergenzverhalten (oder von mir aus auch Monotonie und Beschränktheit) Deines Bruches nicht kaputt macht.

08.02.2007, 10:08

Hanker

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Zitat:

Original von Cru

Zitat:

Original von Hanker

Wie wärs damit?:
$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{\frac{4n-\frac{1}{n}}{9-\frac{1}{n^3}}} \end{eqnarray*}$

Und dann guck Dir mal den Bruch an!

also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^3} \end{eqnarray*}$ laufen gegen 0! Richitg?
praktisch
$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{\frac{4n-0}{9-0}} \end{eqnarray*}$

Ja, so in etwa.

Du siehst also, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{4n-\frac{1}{n}}{9-\frac{1}{n^3}}\longrightarrow \infty \end{eqnarray*}$

Was folgt nun für Dein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ?

08.02.2007, 10:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cru
also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^3} \end{eqnarray*}$ laufen gegen 0! Richitg?

Ja.

Zitat:

Original von Cru
praktisch
$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{\frac{4n-0}{9-0}} \end{eqnarray*}$

So kann man es nicht schreiben, liefert aber die prinzipielle Idee. Der Nenner konvergiert gegen 9, der Zähler wächst unbeschränkt. Insgesamt divergiert der Bruch, die Wurzel ändert daran auch nichts mehr.

@Hanker: wenn da stünde
$\begin{eqnarray*} a_n=\left[ \frac{4n-\frac{1}{n}}{9-\frac{1}{n^3}} \right] \end{eqnarray*}$

dann wäre die Argumentation analog wie oben. Die Stetigkeit der Wurzel ist nicht erforderlich. Die Gaußklammer-Funktion ist fürchterlich unstetig.

EDIT: natürlich braucht man die Stetigkeit der Wurzel, wenn der Term unter der Wurzel konvergieren würde. Wie man sieht, ist das aber hier nicht der Fall.

08.02.2007, 10:23

Cru

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Zitat:

Original von klarsoweit

$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{\frac{4n-0}{9-0}} \end{eqnarray*}$

So kann man es nicht schreiben, liefert aber die prinzipielle Idee. Der Nenner konvergiert gegen 9, der Zähler wächst unbeschränkt. Insgesamt divergiert der Bruch, die Wurzel ändert daran auch nichts mehr.
[/quote]

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} \sqrt{\frac{4n- \frac{1}{n} }{9 - \frac{1}{n^{2}}} } = \infty \end{eqnarray*}$

Ist das so richitg?

08.02.2007, 10:27

klarsoweit

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Ja, wenn du das a_n in dem Ausdruck wegläßt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eine andere Option wäre, die Folge (a_n)² zu betrachten. Die Divergenz dieser Folge ist leicht zu sehen. Daraus folgt dann sofort auch die Divergenz von a_n.

Frage nebenbei: ist die Aufgabe richtig abgeschrieben, etc.?

08.02.2007, 10:27

Hanker

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Zitat:

Original von klarsoweit
@Hanker: wenn da stünde
$\begin{eqnarray*} a_n=\left[ \frac{4n-\frac{1}{n}}{9-\frac{1}{n^3}} \right] \end{eqnarray*}$

dann wäre die Argumentation analog wie oben. Die Stetigkeit der Wurzel ist nicht erforderlich. Die Gaußklammer-Funktion ist fürchterlich unstetig.

Ich wollte lediglich darauf hinweisen, dass die Divergenz von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht ohne weiteres die Divergenz von $\begin{eqnarray*} f(a_n) \end{eqnarray*}$ impliziert.
Im Falle der Gaussklammer-Funktion - als Beispiel einer unstetigen Funktion - ist das sicher so aber deswegen gilt es nicht automatisch für jede beliebige unstetige Funktion.

Die Stetigkeit jedenfalls liefert für die Wurzelfunktion das nötige Argument.

08.02.2007, 10:34

Cru

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RE: Grenzwerte

Zitat:

Original von klarsoweit
Ja, wenn du das a_n in dem Ausdruck wegläßt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eine andere Option wäre, die Folge (a_n)² zu betrachten. Die Divergenz dieser Folge ist leicht zu sehen. Daraus folgt dann sofort auch die Divergenz von a_n.

Frage nebenbei: ist die Aufgabe richtig abgeschrieben, etc.?

Die Aufgabenstellung:
Untersuchen Sie die nachfolgenden Folgen auf Konvergenz und ermitteln Sie ggf. den Grenzwert.
Aufgabe u.a.:

$\begin{eqnarray*} a_{n}:= \frac{n\cdot\sqrt{4n^{2}-1}}{\sqrt{9n^{3}-1}} \end{eqnarray*}$
Die Aufgabe ist 100% abgeschrieben! Hab nochmal geguckt!

Was meinst du genau mit die Folge (a_n)² zu betrachten?

08.02.2007, 10:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von Hanker
Ich wollte lediglich darauf hinweisen, dass die Divergenz von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht ohne weiteres die Divergenz von $\begin{eqnarray*} f(a_n) \end{eqnarray*}$ impliziert.

Einverstanden.

Zitat:

Original von Hanker
Die Stetigkeit jedenfalls liefert für die Wurzelfunktion das nötige Argument.

Nicht einverstanden.
Die Stetigkeit oder Nicht-Stetigkeit von f ist vollkommen belanglos, wenn man bei Divergenz von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Aussage über $\begin{eqnarray*} f(a_n) \end{eqnarray*}$ machen will. Ein wieder anderes Verhalten hat man bei $\begin{eqnarray*} sin(a_n) \end{eqnarray*}$ .

@Cru: Wenn du (a_n)² bildest, hast du die lästigen Wurzeln weg.
Manche haben es dann einfacher. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.02.2007, 12:39

Hanker

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@klarsoweit
War anscheinend immer noch zu früh für mich Hammer

Hammer

Ich war gedanklich die ganze Zeit bei Konvergenz, wo die Stetigkeitsargumentation auch ziehen würde...

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