Abstand Ebene(HNF) und Punkt

08.11.2012, 17:48	EinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand Ebene(HNF) und Punkt Hallo , folgende Aufgabe : Gegeben sind die Ebene $\begin{eqnarray} E: \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot r = \frac{4}{3} \end{eqnarray}$ und der Punkt P = (1,3,3). Berechne den Abstand d des Punktes P von der E, sowie den Projektionspunkt P'(Lotfußpunkt) von P auf E. Nun ist folgendes Problem ich kenne die Hessesche Normalform so: $\begin{eqnarray} E_{HNF} : (\vec{x} - \vec{p}) \cdot n_0=0 \end{eqnarray}$ Ich denke das hier in dem Fall $\begin{eqnarray} n_0 = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein soll und $\begin{eqnarray} r = (\vec{x} - \vec{p}) \end{eqnarray}$ das soll wohl ne "vereinfachtere" Sache sein - mir machts das schwerer kann ich nun wenn ich den Abstand von Punkt und Ebene haben will einfach/ normal rechnen? Also: $\begin{eqnarray} d = \frac{1x+2y+2z-\frac{4}{3}}{3} \end{eqnarray}$ für x,y,z die Koordinatend es Puntkes einsetzen: $\begin{eqnarray} d = \frac{1\cdot1+2\cdot3+2\cdot3}{3}-\frac{4}{3} = \frac{13-4}{3}=\frac{9}{3} = 3 \end{eqnarray}$ So wenn das soweit richtig waere, könnte mir vllt jemand erklären , was ein Lotfußpunkt ist, wofür man den braucht ud wie man ihn berechnet? Danke Lg
08.11.2012, 22:46	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} d = \frac{1\cdot1+2\cdot3+2\cdot3}{3}-{\color{red}\frac{4}{3}} =... \end{eqnarray}$ Hier ist leider der Bruch aus dem Zähler gerutscht, Dein berechneter Abstand ist falsch. Für den Lotfußpunkt verweise ich ausnahmsweise auf Wikipedia. Besser könnte ich es auch nicht schreiben. Edit: Tippfehler ausgebessert.

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