Stetig gdw. (Sesquilinearform)

08.11.2012, 18:05

Gast11022013

Stetig gdw. (Sesquilinearform)

Meine Frage:
Die folgende Aufgabe ist Teil (a) einer etwas längeren Aufgabe. Ich beschränke mich extra erstmal auf Teil (a), damit das nicht zu verwirrend wird.

Sei $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ein komplexer Hilbertraum und $\begin{eqnarray*} B\colon H\times H\to\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ eine Sesquilinearform, d.h. $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist linear stetig im ersten Argument und konjugiert linear stetig im zweiten Argument. Zeige, dass $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ stetig ist genau dann, wenn ein $\begin{eqnarray*} M>0 \end{eqnarray*}$ existiert, so dass

$\begin{eqnarray*} \lvert B(x,y)\rvert\leq M\lVert x\rVert\lVert y\rVert~\forall~x,y\in H \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich habe bis jetzt nur die Rückrichtung hinbekommen (ich hoffe, dass sie stimmt!), ich schreib' sie mal auf:

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ":

Es existiere ein $\begin{eqnarray*} M>0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \lvert B(x,y)\rvert\leq M\lVert x\rVert\lVert y\rVert~\forall~x,y\in H \end{eqnarray*}$ . Betrachte zwei konvergente Folgen in $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ , deren Grenzwerte auch in $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ liegen, also: $\begin{eqnarray*} H\ni (u_n)_{n\in\mathbb{N}}, u_n\to u\in H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H\ni (v_n)_{n\in\mathbb{N}}, v_n\to v\in H \end{eqnarray*}$

Dann gilt meines Erachtens:

$\begin{eqnarray*} \lvert B(u_n,v_n)-B(u,v)\rvert=\lvert B(u_n-u,v_n)+B(u,v_n-v)\rvert \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq\lvert B(u_n-u,v_n)\rvert+\lvert B(u,v_n-v)\rvert \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq M\lVert u_n-u\rVert\lVert v_n\rVert+M\lVert u\rVert\lVert v_n-v\rVert \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =M(\underbrace{\lVert u_n-u\rVert}_{\to 0, n\to\infty}\lVert v_n\rVert+\lVert u\rVert\underbrace{\lVert v_n-v\rVert}_{\to 0, n\to\infty})\to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ stetig.

Kann mir jemand einen Tipp für die Hin-Richtung geben (und mir vllt. vorher sagen, ob meine Rückrichtung stimmt)?

Danke und viele Grüße,
Dennis

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Kann man die Hin-Richtung vllt. per Widerspruch beweisen?

Sei $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ also stetig. Angenommen $\begin{eqnarray*} \nexists M>0: \lvert B(x,y)\rvert\leq M\lVert x\rVert\lVert y\rVert \end{eqnarray*}$ .

--- Gibts dann nicht zwei Folgen $\begin{eqnarray*} (u_n), (v_n) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ , sodass

$\begin{eqnarray*} \frac{\lvert B(u_n,v_n)\rvert}{\lVert u_n\rVert\lVert v_n\rVert}=:\alpha_n\to \infty \end{eqnarray*}$ ?

Meine Idee wäre, dass man jetzt zwei Folgen $\begin{eqnarray*} (y_n), (z_n) \end{eqnarray*}$ definiert, in denen in jedem Folgenglied der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\alpha_n} \end{eqnarray*}$ vorkommt, sodass dann

$\begin{eqnarray*} y_n\to 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_n\to 0 \end{eqnarray*}$ ,

aber $\begin{eqnarray*} \lvert B(y_n,z_n)-B(0,0)\rvert=\lvert B(y_n,z_n)\rvert=\mbox{const} \end{eqnarray*}$ , sodass also die Stetigkeit verletzt wäre?

(Es ist doch $\begin{eqnarray*} B(0,0)=0 \end{eqnarray*}$ wegen der Linearität?)

Aber WIE GENAU man die Folgen $\begin{eqnarray*} (y_n), (z_n) \end{eqnarray*}$ dafür definieren könnte, fällt mir nicht ein.

edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.

08.11.2012, 23:21

sergej88

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Hallo,
die erste Richtung ist brauchbar, jedoch bedarf die Aufgabenstellung etwas Aufklärungsbedarf.

Für eine sesquilinearform sind nämlich äquivalent:

1) B ist stetig
2) B ist beschränkt ( $\begin{eqnarray*} B(x,y) \leq M \Vert x \Vert \Vert y \Vert \end{eqnarray*}$
3) Die Abbildungen $\begin{eqnarray*} x \longmapsto B(x,y), \ \ y \longmapsto B(x,y) \end{eqnarray*}$ sind stetig für alle x,y

Benutze dafür den Satz von Banach Steinhaus.

mfg

09.11.2012, 10:32

Gast11022013

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Den Satz von Banach-Steinhaus hatten wir aber in der Vorlesung nicht, ich denke nicht, dass ich den einfach benutzen darf.

Hm - und nun?

09.11.2012, 11:31

sergej88

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Zitat:

Original von sergej88
Hallo,
die erste Richtung ist brauchbar, jedoch bedarf die Aufgabenstellung etwas Aufklärungsbedarf.

das ware zu erledigen

09.11.2012, 11:43

Gast11022013

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Ich habe Teil (a) so widergegeben, wie sie auf dem Zettel steht.

Teil (b) besteht darin zu zeigen, dass genau ein beschränkter Operator $\begin{eqnarray*} T\colon H\to H \end{eqnarray*}$ existiert, sodass $\begin{eqnarray*} B(x,y)=\langle Tx,y\rangle \end{eqnarray*}$ und

Teil (c) besteht darin zu zeigen: Falls ein $\begin{eqnarray*} m>0 \end{eqnarray*}$ ex., s.d. $\begin{eqnarray*} B(x,x)\geq m\Vert x\rVert^2~\forall~x\in H \end{eqnarray*}$ , so ist T stetig invertierbar und es gilt $\begin{eqnarray*} \lVert T^{-1}\rVert\leq 1/m \end{eqnarray*}$

09.11.2012, 14:30

sergej88

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Betrachten wir die drei von mir angegebenen Äuqivalenzen, so stellt sich die Frage ob die Äquivalenz von 1 und 2 oder die von 2 und 3 zu zeigen ist. Den Satz von Banach Steinhaus brauchst du für die Richtung von 3 nach 1.

In deinem Post hast du ja von 2 nach 1 gezeigt. Zeigen wir jetzt von 1 nach 2.

Angenommen 2 ist falsch. Dann gibt es für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Vektoren $\begin{eqnarray*} 0 \neq x_n,y_n \in H \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} |B(x_n,y_n)| > n^2\Vert x_n \Vert \Vert y_n \Vert \end{eqnarray*}$
folglich gilt
$\begin{eqnarray*} \left | B\left( \frac{x_n}{n\Vert x_n\Vert}, \frac{y_n}{n\Vert y_n\Vert}\right) \right| > 1 \end{eqnarray*}$

auf den Rest kommst du jetzt. Deine Idee war dahingehend fast zielführend.

mfg

09.11.2012, 14:56

Gast11022013

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Ich verstehe die Aufgabe so, dass man die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen soll.

Ich kann das, was Du geschrieben hast, vielleicht noch ein bisschen ausformulieren.

Sei $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ stetig. Angenommen $\begin{eqnarray*} \nexists M>0: \vert B(x,y)\rvert\leq M\lVert x\rVert\lVert y\rVert~\forall~x,y\in H \end{eqnarray*}$ , dann gibts zu jedem $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ Elemente $\begin{eqnarray*} x_n\neq 0, y_n\neq 0 \end{eqnarray*}$ , sodass

$\begin{eqnarray*} \lvert B(x_n,y_n)\rvert >n^2\lVert x_n\rVert\lVert y_n\rVert \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x_n\neq 0,y_n\neq 0 \end{eqnarray*}$ , da sich sonst die falsche Ungleichung $\begin{eqnarray*} 0>0 \end{eqnarray*}$ ergäbe.

Jetzt betrachte man $\begin{eqnarray*} a_n:=\frac{x_n}{n\lVert x_n\rVert}, b_n:=\frac{y_n}{n\lVert y_n\rVert} \end{eqnarray*}$ , dann konvergieren die Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gegen 0.

Schaut man sich aber an, ob denn auch $\begin{eqnarray*} B(a_n,b_n) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} B(0,0)=0 \end{eqnarray*}$ konvergiert, was ja wegen der vorausgesetzten Stetigkeit gelten muss, so ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \lvert B(a_n,b_n)\rvert=\left\lvert T\left(\frac{x_n}{n\lVert x_n\rVert},\frac{y_n}{n\lVert y_n\rVert}\right)\right\rvert>1 \end{eqnarray*}$

Zu der Rechnung, die dies ergibt:

Jetzt kann man den Faktor der ersten Koordinate, also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n\lVert x_n\rVert} \end{eqnarray*}$ betragsmäßig vor den Betrag ziehen (wobei der Betrag auch weggelassen werden kann, da der Bruch nicht-negativ ist) und ebenso kann man aus der zweiten Koordinate den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n\lVert y_n\rVert} \end{eqnarray*}$ (konjugiert!) herausziehen.

Dazu eine Frage:

Was ist das Konjugat von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n\lVert y_n\rVert} \end{eqnarray*}$ ? Ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n\lVert y_n\rVert} \end{eqnarray*}$ reell? Ich weiß nicht genau... wenn ja, so wäre das Konjugat ja identisch.

09.11.2012, 15:29

sergej88

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sieht ok aus, aber die letzte Frage beantworte ich dir nicht. Das solltest du selbst wissen.

Fuer Teil b versuche auf den Satz von Riesz zu kommen.

09.11.2012, 15:38

Gast11022013

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Ich würde meinen, dass es nicht reell ist, da doch $\begin{eqnarray*} \lVert\cdot\rVert \end{eqnarray*}$ die Norm auf H bezeichnet, wenn ich das richtig verstehe und die ist doch induziert durch ein Skalarprodukt, das in die komplexen Zahlen abbildet.

Edit: Das war jetzt überaus dämlich!

$\begin{eqnarray*} \Vert y_n\rVert=\sqrt{\langle y_n,y_n\rangle} \end{eqnarray*}$ . Zwar ist tatsächlich das hier auftretende Skalarprodukt komplex (soll heißen: bildet in die komplexen Zahlen ab), aber nichtsdestotrotz gilt ja $\begin{eqnarray*} \langle y_n,y_n\rangle\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ wegen der Hermitizität! Außerdem gilt $\begin{eqnarray*} \langle y_n,y_n\rangle>0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} y_n\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Es ist klar, dass dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n\lVert y_n\rVert}\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

--Sorry für so viel Blödheit.--

Jetzt sollte es korrekt sein?

--

Für Teil (b) beginnt man (so habe ich das zumindest in der Literatur gesehen) mit dem Funktional $\begin{eqnarray*} A\colon H\to\mathbb{C}, A_y(x)=B(x,y) \end{eqnarray*}$ für fixes $\begin{eqnarray*} y\in H \end{eqnarray*}$ und weist dann nach, dass dieses Funktional all' die behaupteten Eigenschaften erfüllt.

09.11.2012, 19:50

Sly

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Zitat:

Original von Dennis2010
und weist dann nach, dass dieses Funktional all' die behaupteten Eigenschaften erfüllt.

......hä?

Wie sergej schon gesagt hat, guck dir an der Stelle doch mal den Satz von Riesz an. Ich bin mir sicher, das habt ihr in der Vorlesung schon behandelt, sonst käme die Aufgabe nicht.

09.11.2012, 19:58

Gast11022013

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Das war ncht gut ausgedrückt.
Man beginnt den Beweis jedenfalls damit, $\begin{eqnarray*} A_y(x)=B(x,y) \end{eqnarray*}$ zu betrachten, ich poste dazu dann noch was.

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Kann ich bei (b) eigentlich auch das Ganze für $\begin{eqnarray*} B(x,y)=\langle x,Ty\rangle \end{eqnarray*}$ statt für $\begin{eqnarray*} B(x,y)=\langle Tx,y\rangle \end{eqnarray*}$ zeigen?

Dafür würde ich es so machen: Voraussetzung ist doch, dass $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ stetig ist (also nach obigem auch: beschränkt)?

Sei $\begin{eqnarray*} y\in H \end{eqnarray*}$ fest. Betrachte $\begin{eqnarray*} S_y(x):=B(x,y), x\in H \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} S_y\colon H\to\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ Element des Dualraums $\begin{eqnarray*} H' \end{eqnarray*}$ , denn

(1) Linearität:

$\begin{eqnarray*} S_y(a x_1+b x_2)=B(a x_1+b x_2,y)=a B(x_1,y)+b B(x_2,y)=a S_y(x_1)+b S_y(x_2) \end{eqnarray*}$ .

(2) Stetigkeit:

$\begin{eqnarray*} \lVert S_y\rVert=\sup\limits_{\lVert x\rVert=1}\lvert S_y(x)\rvert=\sup\limits_{\lVert x\rVert=1}\lvert B(x,y)\rvert\leq M\lVert x\rVert\lVert y\rVert=M\Vert y\rVert \end{eqnarray*}$

Satz von Riesz:

$\begin{eqnarray*} \exists !\tilde{y}\in H: B(x,y)=S_y(x)=\langle x,\tilde{y}\rangle~\forall~x\in H \end{eqnarray*}$ und außerdem gilt $\begin{eqnarray*} M\lVert y\rVert\geq \lVert S_y\rVert=\lVert \tilde{y}\rVert \end{eqnarray*}$ .

Setze $\begin{eqnarray*} T\colon H\to H, Ty:=\tilde{y} \end{eqnarray*}$ dann gilt

$\begin{eqnarray*} \lVert Ty\rVert=\lVert\tilde{y}\rVert\leq M\lVert y\rVert \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B(x,y)=\langle x,\tilde{y}\rangle=\langle x,Ty\rangle, x,y\in H \end{eqnarray*}$ .

Jetzt muss ich doch noch zeigen, dass T linear ist und stetig?

(1) Linearität von T:

$\begin{eqnarray*} \langle x,T(a y_1+b y_2)\rangle=B(x,ay_1+by_2)=\overline{a}B(x,y_1)+\overline{b}B(x,y_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\overline{a}\langle x,Ty_1\rangle+\overline{b}\langle x,Ty_2\rangle \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\langle x,aTy_1\rangle+\langle x,bTy_2\rangle=\langle x,aTy_1+bTy_2\rangle \end{eqnarray*}$

(2) Stetigkeit von T:

$\begin{eqnarray*} \lVert Tx\rVert^2=\langle Tx,Tx\rangle=B(x,Tx)\leq M\lVert x\rVert\lVert Tx\rVert \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \lVert Tx\rVert\leq M\lVert x\rVert \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt noch etwas zeigen?

Jetzt habe ich es hoffentlich für $\begin{eqnarray*} B(x,y)=\langle x,Ty\rangle \end{eqnarray*}$ gezeigt...
Was ist jetzt mit $\begin{eqnarray*} B(x,y)=\langle Tx,y\rangle \end{eqnarray*}$ ?

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Normalerweise würde hier jetzt noch Teilaufgabe (c) folgen, aber die spare ich mir mal, weil ich sie auch so (denke ich) hinbekommen habe. Es geht darum zu zeigen, dass T sogar stetig invertierbar ist, sofern ein $\begin{eqnarray*} M>0 \end{eqnarray*}$ ex., s.d. $\begin{eqnarray*} B(x,x)\geq m\lVert x\rVert^2 \end{eqnarray*}$ und dass $\begin{eqnarray*} \lVert T^{-1}\rVert\leq 1/m \end{eqnarray*}$ .

Ich habe dann gezeigt, dass der Kern von T trivial ist, das Bild von T abgeschlossen ist, dann kann man noch den Satz von der orthogonalen Projektion ins Spiel bringen und sieht, dass T bijektiv ist. Der Rest ist dann einfach nur noch Einsetzen.

Ich wollte das nur noch der Vollständigkeit halber ergänzt haben.

Edit: Achso, noch zu der letzten Frage aus dem letzten Beitrag... man kann dann ja die Behauptung einfach mit dem adjungierten Operator folgern.. bin ich zuerst nicht drauf gekommen, jetzt aber immerhin. Big Laugh

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edit von sulo: Tripelpost zusammengefügt.

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