Riemann-/Lebesgue-integrierbar

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08.11.2012, 18:53	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Riemann-/Lebesgue-integrierbar Hallo zusammen, Ich will die Äquivalenz der folgenden 3 Aussagen zeigen, fi ist eine uneigentlich Riemann-integrierbare Fkt. 1) f ist Lebesgue-integrierbar. 2) \|f\| ist Lebesque-integrierbar. 3)\|f\| ist uneigentlich Riemann-integrierbar. Meine Idee: Zunächst von 1) -> 2): Es gilt: $\begin{eqnarray} -\infty < \int_f(x)dx=\int^f(x)dx<\infty \end{eqnarray}$ Dann würde doch folgen: $\begin{eqnarray} -\infty < \int_f(x)dx\leq 0\leq \int_\|f(x)\|dx\leq \int^\|f(x)\|dx=\int^f(x)dx<\infty \end{eqnarray}$ Stimmt das denn auch nur annähernd, oder muss ich einen komplett anderen Weg gehen? ( $\begin{eqnarray} \int_, \int^* \end{eqnarray*}$ sind die Unter-bzw. Oberintegrale) MfG
08.11.2012, 21:32	Tobi Semseg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-/Lebesgue-integrierbar wie ist denn das lebegue-integral einer funktion definiert? Für mich ist $\begin{eqnarray} \int \! f \, d\lambda :=\int \! max(f,0) \, d\lambda -\int \!max(-f,0) \, d\lambda \end{eqnarray}$ . Und damit sollte es machbar sein, die ersten beiden Aussagen bekommste damit recht schnell hin.
08.11.2012, 22:07	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-/Lebesgue-integrierbar Erst einmal Danke für deine Antwort $\begin{eqnarray} \int fd\lambda=\int max\left\{f,0\right\}d\lambda -\int min\left\{ f,0\right\}d\lambda \geq \int max\left\{ f,0\right\}d\lambda =\int \|f\|d\lambda \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit? MfG
08.11.2012, 22:32	Tobi Semseg	Auf diesen Beitrag antworten »
Für mich ist $\begin{eqnarray} \int \! max(\pm f,0) \, d\lambda \leq \int \!\| f\| \, d\lambda \end{eqnarray}$ , sollte nun \|f] integrierbar sein, folgt direkt aus der Def. des Integrals für f die Integrierbarkeit von f. Weiterhin definiere g:=max(f,0)-min(f,0).Dann ist $\begin{eqnarray} g\geq 0 \ und \ integrierbar \ mit \ \|f\| \leq g \ \forall x. Monotonie \ des \ Integrals: \int \! \|f\| \, d\lambda \leq \int \! g \, d\lambda < \infty \end{eqnarray}$
08.11.2012, 22:58	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich fasse nochmals (hoffentlich richtig) zusammen: $\begin{eqnarray} \int fd\lambda=\int max\left\{f,0\right\} d\lambda -\int min\left\{ f,0\right\} d\lambda =\int (max\left\{f,0\right\}-min\left\{f,0\right\})d\lambda \geq \int \|f\| d\lambda \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} g:=max\left\{f,0\right\}-min\left\{f,0\right\}\geq \|f\| \end{eqnarray}$ Ausserdem ist wegen der Vorraussetzung f Lebesgue-integrierbar: $\begin{eqnarray} \infty >\int fd\lambda \end{eqnarray}$ Ich versuche mich mal an 2) -> 3) Müssen der Wert des Lebesgue-Integrals und der des Riemann-Integrals nicht übereinstimmen? Es gilt ja: $\begin{eqnarray} \infty >\int fd\lambda=lim_{n\to \infty}\int_{-n}^n\|f\|dx \end{eqnarray}$ Daher ex. der Limes MfG
08.11.2012, 23:08	Tobi Semseg	Auf diesen Beitrag antworten »
Müssen heißt für dich was? Nach Definition? Zur 3. Äquivalenz bin ich mir nicht sicher.. Aber 1<=>2 haste ja nun
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08.11.2012, 23:13	Tobi Semseg	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab das Gefühl, dass für die 3. Aussage ein wenig mehr nötig ist, denke nicht dass es ein 2- Zeielr ist, lass mich aber gern eines Besseren belehren
08.11.2012, 23:58	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, schade. Ich versuchs morgen weiter und poste meine Ergebnisse. Vielen Dank für deine Hilfe MfG
09.11.2012, 03:09	Tobi Semseg	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (2) <=> (3): \\<br /> Sei \ I=(a,b) \ und \ f : (a,b)->\mathbb R . \\<br /> Sei -\infty \leq a<b\leq \infty \ , a_{n} ->a \ (von \ oben) , \\<br /> b_{n} ->b \ (von \ unten) . Dann \ ist \ f=\lim_{n \to \infty } f\cdot 1[a_{n} ,b_{n} ] \ offensichtlich \\ \lambda -integrierbar \ und \ es \ gilt \ : \lim \int_{a_{n}}^{b_{n}} \! \|f\| \, dx = \lim \int_I \! \|f\|\cdot 1[a_{n},b_{n}] \, d\lambda \\<br /> =\int_I \! \|f\| \, d\lambda <br /> \end{eqnarray}$ ,wobei zuletzt noch die monotone Konvergenz eingeht. Liebe Grüße
09.11.2012, 08:11	Gastmathematiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, ob es daran liegt, dass du die Aufgabenstellung nicht vollständig wiedergegeben hast, aber zwischen 2 und 3 liegt bei der Aufgabenstellung ganz sicher keine Äquivalenz vor.
09.11.2012, 15:51	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist die genaue Aufgabenstellung: "Sei f eine uneigentliche Riemann-integrierbare Funktion. Zeigen sie die Äquivalenz folgender Aussagen:1),2),3)..." Ich versuche mich mal an von 3) nach 1): Da \|f\| Riemann-integrierbar ist: $\begin{eqnarray} \infty>lim_{a\to \infty}=\int_{-a}^a\|f(x)\|dx=lim_{a\to \infty}\int_0^a\|f(x)\|dx+lim_{b\to {-\infty}}\int_b^0\|f(x)\|dx \geq \int_{\mathbb R_+}max\left\{ f,0\right\}d\lambda +\int_{\mathbb R_-}min\left\{ f,0\right\}d\lambda \end{eqnarray}$ MfG
09.11.2012, 19:44	Gastmathematiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, mit dem fi aus dem ersten Beitrag dachte ich zuerst an eine Folge. 1 und 2 sind äquivalent (das folgt sofort aus der Definition). 2 und 3 sind äquivalent, was schnell zu zeigen ist, wenn ihr schon habt, dass das Riemann-Integral (nicht uneigentlich) im Falle der Existenz mit dem Lebesgue-Integral übereinstimmt. Dann betrachtest du den Grenzwert.

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