Äquivalenzrelation, Klassen

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Harrenbregs Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation, Klassen
Edit (mY+): Der Titel "Definition?" ist schlecht gewählt, das kann doch alles sein! Die Überschrift soll den Inhalt des Themas signifikant beschreiben. Modifiziert.

Zeige, dass auf N x N durch (a; b)  (c; d) :, a + d = b + c eine
Äqivalenzrelation definiert ist. Veranschauliche die Aquivalenzklassen, sowie die Klasseneinteilung in N^2.

_ _ _ _ _

Ist N x N = N^2?
Denn ich habe gelernt, dass N^2 = N N

Wie zeige ich, dass die Äqui.rel. definiert ist? Durch die Eigenschaften (Reflexiv, Transitv, Symmetrisch?). Ich bitte um ein paar.. nunja, Starthilfen :- ).

Reflexiv: (a,a) für a € A. Aber ich habe ja hier a,b,c und d?!
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition?
Zitat:
Original von Harrenbregs
Reflexiv: (a,a) für a € A. Aber ich habe ja hier a,b,c und d?!

Ganz richtig, Du hast hier die Relation auf einem zweifachen kartesischen Produkt definiert, d.h. Du musst prüfen.
Harrenbregs Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

dankesehr.

Ergibt sich das nicht schon daraus, dass a,b in N liegen und somit (a,b) in NxN = (a,b) in NxN?

Ich glaube ich habe das eher nicht richtig verstanden. Wie prüfe ich das denn? verwirrt
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz allgemein:
Sei eine Menge und eine Relation auf . Für schreibe ich abkürzend .
Gilt für alle , dass , dann nennt man reflexiv.

In unserem Falle ist . Eine zweistellige Relation auf ist eine Teilmenge . Jedes lässt sich darstellen als für geeignete . Die Bedingung übersetzt sich daher zu . (Eine zweistellige Relation auf kann man eben auffassen als eine vierstellige Relation auf .)

Wie sehen dann die Bedingungen für Antisymmetrie und Transitivität aus?
Den Ansatz zur Reflexivität habe ich Dir schon gegeben: Es muss gelten. Was bedeutet diese Bedingung ausgeschrieben nach Definition der Relation ?
Harrenbregs Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

bedeutet so viel wie
.

Gemäß Definition der Aufgabenstellung gilt ja, dass aus

folgt



Für meinen/unseren Ansatz heißt das, dass aus

folgt
. Dank Kommutativgesetz ist a+b = b+a und somit die Reflexivität erfüllt.

Symmetrisch sollte dann so funktionieren:
so gilt auch und dann wie oben entsprechend die Definition nutzen.

Transitiv ebenfalls, indem ich zeige dass (a,b) ~ (c,d), (c,d) ~ (e,f) und daraus dann folgt (a,b) ~ (e,f) ?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

So sieht's aus. smile
 
 
Harrenbregs Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann danke ich dir ganz herzlich Prost Wink
Harrenbregs Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

habe die Klasseneinteilung vergessen. Wie geht das denn überhaupt? verwirrt

(Verzeihung für den Doppelpost!)
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kannst Du denn so umformen, dass man besser sieht, wie die Paare und voneinander abhängen?
Harrenbregs Auf diesen Beitrag antworten »

Indem ich sage, dass das Paar (a,b) gegeben ist durch die Beziehung a-b und das Paar (c,d) durch (c-d).

Allgemein also (x,y) ist abhängig durch die Relation x-y.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst vermutlich das richtige, aber Deine Formulierung hinkt noch ein wenig. Jedenfalls gilt offenbar genau dann, wenn . Wie hilft Dir das beim Zeichnen?
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