Teilbarkeit zeigen

08.11.2012, 21:03	Zitronentee	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit zeigen Aufgabe: Sei N eine Dezimalzahl mit Ziffern $\begin{eqnarray} a_0,a_1,...,a_n\in \left\{0,1,2,...,9\right\} \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} N=a_0+10\cdot a_1+10^2\cdot a_2+...+10^n\cdot a_n= \sum\limits_{k=1}^n (-1)^k\cdot a_k \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass N genau dann durch 11 teilbar ist, wenn $\begin{eqnarray} N=a_0+10\cdot a_1+10^2\cdot a_2+...+10^n\cdot a_n= \sum\limits_{k=1}^n (-1)^k\cdot a_k \end{eqnarray}$ durch 11 teilbar ist. Idee: Also man müsste ja erstmal zeigen, dass: $\begin{eqnarray} N=a_0+10\cdot a_1+10^2\cdot a_2+...+10^n\cdot a_n= \sum\limits_{k=1}^n (-1)^k\cdot a_k \end{eqnarray}$ durch 11 teilbar ist. Das wollte ich per Induktion machen, nur weiss ich ja nicht was $\begin{eqnarray} a_0,a_1,...,a_n \end{eqnarray}$ genau ist. Deswegen führt das irgenwie zu nichts. Einen anderen Ansatz hab ich aber noch nicht gefunden. Könnte mir jemand einen kleinen Denkanstoß geben ? Danke, mfg. Zitronentee
09.11.2012, 01:11	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
denk mal an $\begin{align} 10\equiv -1 \mod 11 \end{align}$ , sowie $\begin{eqnarray} a\equiv b \mod c \Rightarrow \forall k\geq 1, k\in\mathbb{N} : a^k\equiv b^k \mod c \end{eqnarray}$ Gruß Peter

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