Polynom, welches integral minimiert_

08.11.2012, 21:04

bloodybeginner

Polynom, welches integral minimiert_

Meine Frage:
Ich muss das p finden, so dass das definierte Integral minimiert wird, wobei p höchstens den Grad 1 haben kann

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! | e^{x} - p(x) |^{2} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
wie ist denn hier die heransgehensweise`? ich weiss nicht genau wie ich anfangen soll?

08.11.2012, 21:13

Causal

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RE: Polynom, welches integral minimiert_
Es gibt einen berühmten Satz von Weierstraß.
Approximationssatz. Der besagt, dass man jede stetige Funktion gleichmäßig auf einem kompakten Intervall durch Polynome approximieren kann.
Ich bin mir nicht sicher, ob dieser Ansatz zielführend ist.
Eventuell hilft dir das --> LINK!

Gruß, Causal

08.11.2012, 22:26

EinGast

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RE: Polynom, welches integral minimiert_
man kann den Ansatz $\begin{eqnarray*} p(x)=ax+b \end{eqnarray*}$ machen (wo $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ noch unbekannt sind) und dann das Integral berechnen als Funktion von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$

08.11.2012, 22:48

bloodybeginner

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RE: Polynom, welches integral minimiert_
Kann man dafuer die approximation von gauß verwende??

08.11.2012, 22:58

bloodybeginner

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wenn ich für mein p das b + ax einsetze, wie werde ich die Betragsstriche los? Muss ich dafür das Integral auspalten? Oder geht durch das Quadrat der Betrag einfach verloren??

08.11.2012, 23:02

EinGast

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Zitat:

Original von bloodybeginner
Oder geht durch das Quadrat der Betrag einfach verloren??

ja, dh du kannst einfach

$\begin{eqnarray*} \int_0^2(e^x-ax-b)^2\, dx \end{eqnarray*}$

berechnen. Das ergibt dann eine Funktion von $\begin{eqnarray*} (a,b)\in\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , deren Minimalstelle man bestimmen kann...

08.11.2012, 23:18

bloodybeginner

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$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! e^{x^{2} } - 2(ax + b) + (ax + b)^{2} \, dx = \int_0^2 \! e^{x^{2} } - 2(ax + b) + x^{2}a^{2} + 2aby<br /> x + b^{2} \, dx \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit? Ist die stammfunktion von der e Funktion dann einfach: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x} e^{x^{2} } \end{eqnarray*}$

08.11.2012, 23:23

HAL 9000

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Wie in aller Welt kommst du denn auf $\begin{eqnarray*} e^{x^2} \end{eqnarray*}$ ? unglücklich

Durch das "Vergessen" der Potenzgesetze bringst du dich in Teufels Küche - tatsächlich ist

$\begin{eqnarray*} \left( e^x \right)^2 = e^{2x} \end{eqnarray*}$ .

Und beim "Mittelterm" $\begin{eqnarray*} -2(ax+b) \end{eqnarray*}$ fehlt überdies noch der Faktor $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ .

09.11.2012, 00:21

bloodybeginner

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aber was mache ich wenn ich am ende eine gleichung stehen habe, setze ich die gleich 0?

09.11.2012, 09:24

HAL 9000

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Am Ende hast du ja $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ als Parameter drinstehen, d.h. das ist eine Funktion

$\begin{eqnarray*} g(a,b) = \int\limits_0^2 \left( e^x-ax-b \right)^2 ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ,

die es gemäß den Anforderungen der Aufgabenstellung global zu minimieren gilt.

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