Differentialgleichung/ Taylorentwicklung

08.11.2012, 21:36	Skolja	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung/ Taylorentwicklung Hallo Leute Ich bräuchte mal eure Hilfe bei der unten angehängten Aufgabe... Also... Für den Massepunkt der am Pendel schwingt gilt: $\begin{eqnarray} \vec{(r)} = \begin{pmatrix}l \sin (\phi) \\l( h-\cos (\phi) )\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da das Pendel in x-z-Ebene schwingt, habe ich die Aufhängung auf die z-Achse gelegt. Der Winkel [laztex] \phi [/latex] beschreibt dabei den Winkel zwischen der z-Achse und des Pendels und l die Länge des Pendels. Auf die Masse die am Pendel schwingt wirkt die Gewichtskraf $\begin{eqnarray} \vec{F} = \begin{pmatrix} 0 \\ -mg \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Damit habe ich dann die Bewegungsgleichung wie folgende hergeleitet: $\begin{eqnarray} \vec{F} = m \vec{r} '' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{r}' = \begin{pmatrix}l \phi '\cos (\phi) \\l \phi ' \sin (\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{r}'' = \phi ''\begin{pmatrix} l\cos (\phi) \\l sin(\phi) \end{pmatrix} +{\phi '} ^2 \begin{pmatrix} -l\sin (\phi) \\ l \cos( \phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ I: $\begin{eqnarray} l \phi '' \cos (\phi) - l {\phi '}^2 \sin(\phi) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} {\phi '}^2 \Big [ \frac{\cos (\phi)}{\sin (\phi)} \Big ] = \phi '' \end{eqnarray}$ II: $\begin{eqnarray} \phi '' l \sin (\phi) + \phi '' l \frac{\cos^2}{\sin \phi} = - g \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi '' \Big [ \frac{l \sin^2 (\phi) }{\sin \phi } + \frac{ l \cos ^2 ( \phi) }{\sin( \phi) } \Big ] = -g \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi '' \Big [ \frac{l}{\sin (\phi) }\Big ] = - g \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi '' = \frac{-g}{l} \sin (\phi) \end{eqnarray}$ Das ist doch jetzt eigentlich die Bewegungsgleichung als Differentialgleichung, oder nicht? So wie ich den Punkt zwei verstehe soll ich auf diese Differentialgleichung jetzt die Taylor-Entwicklung anwenden. Aber wie zum Teufel mach ich das? Taylor-Entwicklung ist doch : $\begin{eqnarray} p_n f(x_0) = \sum_0^n \frac{f^{(n)} (x_0)}{n!} (x-x_0) \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ der Entwicklungspunkt ist und n der Ordnung entspricht. So aber mein Problem ist jetzt, dass man dafür ja ein definierte Funktion braucht... In der Aufgabe 5 war es so, dass man die obige Gleichung für kleine Auslenkungen glöst hat und mit Anfangsbedingungen hat sich dann ergeben: $\begin{eqnarray} \phi (t) = \phi_0 \cos ( \omega_0 t ) \end{eqnarray}$ ,wobei $\begin{eqnarray} \omega_0^2 = \frac{g}{l} \end{eqnarray}$ Soll ich jetzt diese Funktion für die Taylor-Entwicklung benutzen? So und bei der dritten Aufgabe hab ich keinen Plan was genau ich tun soll. Kann mir irgendwer sagen was die Methode der Störungsrechnung ist und wie man sie anwendet? Bzw. nen Link wo man sowas nachlesen könnte^^ Vielen Dank für die Hilfe im Vorraus Gruß
09.11.2012, 10:57	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die richtige Dgl. gefunden. Es ist aber einfacher, von Beginn an nur mit der z-Koordinate zu rechnen, also 1-dimensional: Die Newtosche Gleichung im Graviationsfeld lautet für diesen Fall $\begin{eqnarray} m\ddot z-mgz=0 \end{eqnarray}$ . Eine einfache geometrische Überlegung ergibt für das Pendel mit der Fadenlänge L die z-Koordinate $\begin{eqnarray} z=L\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray}$ . Einsetzen in die Dgl. liefert deine nichtlineare Dgl. $\begin{eqnarray} \ddot \phi+\tfrac{g}{L}\sin(\phi)=0 \end{eqnarray}$ . Diese Gleichung kann man nicht formelmäßig lösen. Deshalb macht man die Taylorentwicklung $\begin{eqnarray} \sin(\phi)=\phi-\tfrac{1}{3!}\phi^3... \end{eqnarray}$ . Das liefert für "kleine" Winkel eine gute Näherungslösung. Berücksichtigt man nur den 1.Summanden der Taylorentwicklung, bekommt man die lineare Dgl. $\begin{eqnarray} \ddot \phi+\tfrac{g}{L}\phi=0 \end{eqnarray}$ mit der bekannten harmonischen Lösung $\begin{eqnarray} \phi_{\text{harm}}(t)=\phi_0\cdot \cos (\omega \cdot t ) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \phi_0 \end{eqnarray}$ den Anfangswinkel bei t=0 bezeichnet und $\begin{eqnarray} \omega=\sqrt{\tfrac{g}{L}} \end{eqnarray}$ die Frequenz der Schwingung ist. Nimmt man den nächsten Summanden der Taylorentwicklung mit (also die 3.Ordnung), bekommt man die nichtlineare Dgl. $\begin{eqnarray} \ddot \phi+\tfrac{g}{L}\phi\underbrace{-\tfrac{1}{3!}\tfrac{g}{L}\phi^3}_{\text{nichtlineare Störung}}=0 \end{eqnarray}$ . Diese Dgl. soll ausgehend von der obigen harmonischen Lösung mit der Störungsrechnung behandelt werden! Mache wie gefordert den Anatz $\begin{eqnarray} \phi=\phi_{\text{harm}}+\delta\phi \end{eqnarray}$ . Einsetzen in die Dgl. liefert $\begin{eqnarray} \ddot \phi_{\text{harm}}+\delta\ddot \phi+\tfrac{g}{L}\phi_{\text{harm}}+\tfrac{g}{L}\delta \phi-\tfrac{1}{3!}\tfrac{g}{L}(\phi_{\text{harm}}+\delta\phi)^3=0 \end{eqnarray}$ . Die Summanden 1+3 heben sich weg, da sie die obige harmonischen Dgl. darstellen. Von den vier Summanden, welche die Klammer (...)³ ergibt, nehmen wir nur den Summanden $\begin{eqnarray} \phi_{\text{harm}}^3 \end{eqnarray}$ mit, weil man die anderen Summanden wegen $\begin{eqnarray} \delta\phi<<\phi_{\text{harm}} \end{eqnarray}$ vernachlässsigen kann. Übrig bleibt folgende inhomogene, lineare Dgl. $\begin{eqnarray} \delta\ddot \phi+\tfrac{g}{L}\delta \phi=\tfrac{1}{3!}\tfrac{g}{L}\phi_{\text{harm}}^3 \end{eqnarray}$ für die "Störung". Diese Dgl. solltest du lösen können.
09.11.2012, 11:03	Malte86	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung/ Taylorentwicklung Hey du, die Differntialgleichung sieht auf den ersten blick ganz gut aus, hab es nicht nach gerechnet, aber da du das gleiche ja schonmal in Aufgabe 5 gemacht hast geh ich davon aus, dass das so stimmt xD Zur Reihenentwicklung: erstmal will ich dich auf einen kleinen Tippfehler aufmerksam machen: es ist natürlich Pnf(x) und nicht von x0. Du sagst du brauchst eine Funktion um eine Reihe zu entwickeln? ist das so? Du brauchst natürlich nur den Wert der Ableitungen bzw der Funktion am Entwicklungspunkt. Gibt es einen Punkt der Schwingung den du kennst? So und die 2. Ableitung steht ja auch schon da.... Vieleicht reicht das ja schon als Anstoß Grüße Malte
10.11.2012, 21:11	Skolja	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antworten ihr beiden! Und entschuldigt bitte, dass ich mich erst jetzt wieder melde... Zu den Antworten: @ Malte Das war gar kein Tippfehler muss ich zugeben Dachte, da man ja mit Taylor die Funktion um den Entwicklungspunkt x_0 darstellt, schreibt man das so ... Danke für den Hinweis Ich hab aus der Aufgabe 5 Wert für die $\begin{eqnarray} \phi (0) = \phi_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi ' = 0 \end{eqnarray}$ bei Null gegeben... $\begin{eqnarray} \phi '' (0) \end{eqnarray}$ kann ich einsetzen und ausrechnen und wenn ich $\begin{eqnarray} \phi '' \end{eqnarray}$ ableiten kriege ich $\begin{eqnarray} \phi ''' (0) \end{eqnarray}$ raus... Also könnte ich die Entwicklung für $\begin{eqnarray} x_0 = 0 \end{eqnarray}$ durchführen und hättet dann: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \phi (t)= P_3 \phi (t) = \phi_0 \cdot t + 0 + \frac{-g}{l} \sin (0) \cdot t^2 + \frac{-g}{l} \cos (0) \cdot t^3 =<br /> \phi_0 \cdot t + \frac{1}{3!} \frac{-g}{l} t^3 \end{eqnarray}$ Das wäre jetzt meine Nährung der 3. Ordnung nach Taylor. Aber nach dem was Ehos geschrieben hat, ist das ja falsch @ Ehos Was du geschrieben hast kann ich im großen und ganzen nachvollziehen glaub ich... Nur bei einigen Schritten hab ich Probleme... Also : Wie kommt man von $\begin{eqnarray} \phi '' + \frac{g}{L} \sin (\phi) = 0 \end{eqnarray}$ auf die Taylore Entwicklung : $\begin{eqnarray} \sin (\phi) = \phi + \frac{1}{3!} \phi ^3 \end{eqnarray}$ ? Ich hab das Gefühl es ist ne total doofe Frage, aber ich komme einfach nicht drauf. Hab ja oben schon das einzige aufgeschrieben was mir zu Taylor in den Sinn gekommen ist... Also sorry aber bitte erklär es mir, im Tutorium tauchte das nämlich auch so auf wie du es gemacht hast und ich fühl mich so dumm Danach das Einsetzen des 1. Sumanden versteh ich, Check Wie man daraus auf die harmonisch Lösung kommt ist auch klar... Dritten Summanden einbringen um die Störung mit einzubeziehen auch klar. Dann in $\begin{eqnarray} \phi '' + \frac{g}{L} \sin (\phi) = 0 \end{eqnarray}$ einfach statt $\begin{eqnarray} \sin \phi \end{eqnarray}$ das Taylor Polynom einsetzen, wobei $\begin{eqnarray} \phi = \phi_{harm} + \delta \phi \end{eqnarray}$ und dann ausrechnen ist auch klar Und wenn ich dann die resultierende Gleichung löse müsste ich ja was rauskriegen was : $\begin{eqnarray} \delta \phi = .... \end{eqnarray}$ heißt, und somit wäre die Aufgabe drei auch gelöst, richtig? Also alles in allem fehlt mir vom Verständnis wirklich nur der Schritt: $\begin{eqnarray} \sin (\phi) = \phi - \frac{1}{3} \phi^3 \end{eqnarray}$ Vielen Dank für diese gut nachvollziehbare Antowrt soweit! Würde mich freuen, wenn du dir die Zeit nimmst, diese Unklarheit auch noch zu beseitige Liebe Grüße
11.11.2012, 12:23	Skolja	Auf diesen Beitrag antworten »
ähm ja hat sich geklärt... Taylor-Entwicklung vom Sinus Vielen Dank nochmal euch beiden

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