Partialbruchzerlegung mit Rest

08.11.2012, 23:20	milius	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung mit Rest Meine Frage: Bei der Lösung einer Rekursionsaufgabe mittels erzeugender Funktion bin ich auf ein Problem gestoßen, bei dem ich nicht weiter weiß. Ich habe folgenden Bruch zweier Polynome: $\begin{eqnarray} A(z)= \frac{4z^{2}-2z+1}{-4z^{3}+8z^{2}-5z+1} \end{eqnarray}$ Beim Ermitteln der Nullstellen des Nennerpolynoms erhalte ich allerdings einen Rest bei der Polynomdivision. Jetzt weiß ich nicht wie ich mit Rest weiterrechnen kann, bzw. ob überhaupt eine Partialbruchzerlegung möglich ist. Kann mir da jemand weiterhelfen? Meine Ideen: $\begin{eqnarray} A(z)= \frac{4z^{2}-2z+1}{-4z^{3}+8z^{2}-5z+1} \end{eqnarray}$ Nullstellen des Nenners ermitteln: Erste Nullstelle geraten mit $\begin{eqnarray} x_{0} = 1 \end{eqnarray}$ Polynomdivision: $\begin{eqnarray} (-4z^{3}+8z^{2}-5z+1) : (1-z) = (\frac{2}{1-z}+4z^{2}-4z-1)(1-z) \end{eqnarray}$ Keine Ahnung wie ich jetzt mit dem Rest $\begin{eqnarray} (\frac{2}{1-z}) \end{eqnarray}$ eine Partialbruchzerlegung vornehmen soll/kann.
08.11.2012, 23:23	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung mit Rest Hi, ich würde nun versuchen weiter zu faktorisieren. Du hast ja nun ein Polynom zweiten Grades was mit der pq-Formel bearbeitet werden kann.
08.11.2012, 23:34	miliusOnBoard	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung mit Rest Hi, danke für die schnelle Meldung. Allerdings habe ich deine Antwort nicht verstanden. Klar könnte ich innerhalb der Klammer das Polynom 2.Grades noch weiter zerlegen. Der Punkt ist aber das ich nicht weiß wie ich aus dem Ergebnis eine Partialbruchzerlegung herausbekomme. Normalerweise habe ich die Nullstellen des Nennerpolynoms berechnet und diese jeweils in einem Summanden in einer Summe aus Quotienten geschrieben. Anschließend kann ich dann mit einem Koeffizientenvergleich die Unbekannten der Partialbruchzerlegung ermitteln. Wie das mit einem Rest funktioniert ist mir allerdings nicht klar. Danke schonmal für die Hilfe.
09.11.2012, 07:16	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung mit Rest Ich würde einfach die Division noch einmal durchführen und mir Mühe geben, ja keinen Vorzeichenfehler zu machen
09.11.2012, 12:24	miliusOnBoard	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung mit Rest Hi, ich kann den Fehler leider nicht finden. Sieht vielleicht jemand was ich hier falsch gemacht habe? Danke schon einmal. $\begin{eqnarray} (-4z^{3}+8z^{2}-5z+1) : (1-z) = 4z^{2}-4z-1<br /> -(-4z^{3}+4z^{2})<br /> <br /> 4z^{2}-5z+1<br /> -(4z^{2}-4z)<br /> <br /> z+1<br /> -(z-1)<br /> 2<br /> \end{eqnarray}$
09.11.2012, 12:42	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung mit Rest Komische Division...ich mache sie ganz anders, aber egal. Multiplizieren wir doch mal zusammen Dein Ergebnis: $\begin{eqnarray} \left(\frac{2}{1-z}+4z^2-4z-1 \right) \left(1-z\right)= 2+4z^2\left(1-z\right)-4z\left(1-z\right)-\left(1-z\right)=2+4z^2-4z^3-4z+4z^2-1+z=-4z^3+8z^2-3z+1 \end{eqnarray}$ und das ist ja nicht das, wovon Du ausgegangen bist. Also ist Deine Division falsch. Vielleicht versuchst Du es nochmals.
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09.11.2012, 12:48	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, $\begin{eqnarray} (4z^2-5z+1)-(4z^2-4z) \end{eqnarray}$ gibt eben nicht $\begin{eqnarray} z+1 \end{eqnarray}$ , wie Du das in Deiner Rechnung meinst
09.11.2012, 16:22	miliusOnBoard	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, starke Sache. Ich habe den gleichen Vorzeichenfehler viermal hintereinander gemacht. Danke!

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