Totale Differenzierbarkeit

09.11.2012, 01:37	Abyss	Auf diesen Beitrag antworten »
Totale Differenzierbarkeit Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} f(x,y)=\frac{sin(x^3+y^3)}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(0,0)=0 \end{eqnarray}$ . Zeige, dass f in $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ nicht total differenzierbar ist. Meine Ideen: Ich habe bereits die partiellen Ableitungen berechnet; es ist $\begin{eqnarray} f_x(0,0)=f_y(0,0)=1 \end{eqnarray}$ , also ist der Gradient von f gegeben durch $\begin{eqnarray} \nabla f=(1,1) \end{eqnarray}$ Um nun totale Differenzierbarkeit zu widerlegen, müsste ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)-<(1,1),(x,y)>}{\|\|(x,y)\|\|_2} \neq 0 \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y)-x-y}{\sqrt{x^2+y^2}} \neq 0 \end{eqnarray}$ ist. Ich weiß nun nicht, wie ich diesen Grenzwert berechnen soll. Ich habe bereits versucht, Nullfolgen wie $\begin{eqnarray} (\frac{1}{n},\frac{1}{n}) \end{eqnarray}$ einzusetzen, doch dann ergibt sich als Grenzwert genau 0. Kann mir jemand helfen?
09.11.2012, 09:47	EinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Totale Differenzierbarkeit Sei zur Abkürzung $\begin{eqnarray} F(x,y)=\frac{f(x,y)-x-y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{eqnarray}$ Betrachtet man diese Funktion für $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ , so sieht man schnell, dass $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0}F(x,x) \end{eqnarray}$ nicht existiert
09.11.2012, 14:49	Abyss	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich muss mich gestern dann irgendwie verrechnet haben, weil es ja eigentlich keinen Unterschied macht, ob man $\begin{eqnarray} x=y=\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ einsetzt und dann n gegen unendlich laufen lässt, oder ob man x=y gegen 0 gehen lässt... Aber ich bekomme jetzt raus, dass der Grenzwert existiert, er ist nur nicht 0: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} F(x,x)=\lim_{x \to 0}\frac{sin(2x^3)}{2x^3 \sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$
09.11.2012, 15:32	EinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
hast du beachtet, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{x^2}=\left\|x\right\| \end{eqnarray}$ ?
09.11.2012, 15:35	Abyss	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, hab ich nicht... Danke für die Hilfe!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »