Skizze von Mengen bei Metriken

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Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
Skizze von Mengen bei Metriken
Meine Frage:
Hey ich habe eine Aufgabe, bei der es um Metriken geht. Wie ich diese Beweise ist mir klar und auch sonst habe ich kaum Fragen dazu. Einen Punkt verstehe ich allerdings nicht und ich bräuchte Hilfe dazu:
Ich soll für und die Mengen

skizzieren.

Meine Ideen:
Könnte mir jemand zeigen wie das für r = 1 funktioniert? Ich stehe gerade auf dem Schlauch. Schwer kann das glaube ich nicht sein.
Bzw. mir den Weg beschreiben, wie ich das machen soll.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist denn die Metrik



definiert?
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst bewegen wir uns in
definiert ist sie wie folgt:
, falls x,y linear abhängig

(Sorry, wusste nicht wie ich die geschwungene Klammer auf 2 Reihen hinbekomme, daher hintereinander)
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Also



(für den Latexcode einfach rechtsclick auf die Formel oder markieren und einfügen)

So, suchen wir doch erstmal die linear unabhängigen Vektoren zu (1,0) heraus. Diese sind gerade gegeben durch

(b,c)

wobei c ungleich 0 sein muss. Das sind ja dann schon mal eine ganze Menge Vektoren. Jetzt suchen wir unter diesen jene heraus für die



gilt. Sprich, es soll



sein. Diese b,c kannst Du sicherlich bestimmen Augenzwinkern
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

du hast jetzt unabhängig in der formel, es ging aber um abhängig in der oberen zeile. hast du dich nur verschrieben oder verlesen?

danke schon mal ich werd mich gleich mal dransetzn
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Japp, verlesen. Also



Sprich, wenn wir die linear unabhängigen Vektoren suchen müssen wir



lösen. Und siehe da, diese Menge ist für r = 1 direkt mal leer. Sprich, für r = 1 ist nur der linear abhängige Fall zu betrachten. Die linear Abhängingen Vektoren zu a = (1,0)
sind gegeben durch

(b,0) für alle b. Gesucht sind also die Vektoren für die dann



gilt.
 
 
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

wieso genau ist die Menge leer? weil wir dann haben dass b= c?
noch eine Frage: muss ich immer 2 Fälle unterscheiden? den unabhängigen und den abhängigen?

wie genau kommst du auf die letzte ungleichung?

gruß
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
noch eine Frage: muss ich immer 2 Fälle unterscheiden? den unabhängigen und den abhängigen?


So ist die Metrik doch definiert. Und wenn Du alle Vektoren erwischen willst musst Du beide Fälle durchgehen.

Zitat:
wieso genau ist die Menge leer? weil wir dann haben dass b= c?


Nein, es soll



sein. Also



Das geht nur wenn (b,c) = (0,0) ist. jetzt haben wir aber für den linear unabhängigen Fall gesehen, dass c ungleich 0 sein muss. Daher fällt die einzig mögliche Lösung auch weg und der linear unabhängige Fall für r = 1 ist schonmal die leere Menge.

Zitat:
wie genau kommst du auf die letzte ungleichung?


Für den linear abhängigen Fall haben wir und wir haben gesehen, dass die linear abhängigen Vektoren zu (1,0) gerade die Vektoren (b,0) sind für b reelle Zahl. Daher haben wir

Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

ok warst schneller. danke dir schonmal
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

eine frage habe ich noch: wie genau schreibe ich die Menge jetzt auf? ich habe ja dann 2 angaben einmal die leere menge und dann die menge mit (b,0) oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
dann die menge mit (b,0) oder?


Es gibt gewisse Einschränkungen an b. Denn es muss ja



gelten. Die Ergebnismenge ist die Vereinigung der beiden Mengen. Wenn Du für r = 1 skizzieren sollst, was würdest Du zeichnen?
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

weiß ich ehrlich gesagt nicht unglücklich daher frag ich ja: muss die lösung in form einer skizze oder in form einer mengenangabe erfolgen wie in meiner ausgangsfrage?

und ich vermute dass b aus R + ohne 0 sein muss oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn dort steht skizzieren sie, dann musst du die Menge schon in ein Koordinatensystem zeichnen.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

muss das einen kreis ergeben?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Für den Fall r = 1 schonmal nicht. Für den Fall 1 sind nur die Vektoren

mit zu zeichnen.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

das heißt ich hab eine vektorenschar im prinzip? die alle in die gleiche "richtung" zeigen aber unterschiedliche länge besitzen?
verlaufen die im koordinatensystem dann auf der x-achse?

sry ich sitze gerade total auf dem schlauch traurig
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, Du ließt das ganze etwas falsch. Wir haben eine Menge von Punkten (b,0) die eine Bedingung erfüllen. Diese Punkte kann man aufzeichnen. Aber ums mal kurz zu machen. Für den Fall r = 1 haben wir eine Gerade von x = 0 bis x = 2.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

achso! ok ja selten blöd. klar. b darf sich nur zwischen 0 und 2 somit bewegen. aber ist das dann wirklich eine gerade? warum geometrisch gesehen keine strecke? die punkte 0 und 1 dürfen ja angenommen werden oder nicht? das heißt auf der x-achse sieht das so aus:

0--------2 und die striche sind sozusagen meine punkte bzw. meine gerade?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zwischen 0 bis 2! Ich habe nochmal editiert.

Zitat:
warum geometrisch gesehen keine strecke?


Du hast recht! Eine Strecke ist ja eine "beschränkte" Menge (salopp gesagt). Eine Gerade wäre ja nicht in x beschränkt.

Zitat:
0--------1 und die striche sind sozusagen meine punkte bzw. meine gerade?


Ja, aber wie gesagt 0------2
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

habs gesehen Augenzwinkern habs auch editiert dann smile
super danke dir schonmal bis hierhin:
könntest du mir vlt erklären was ich bei r =2 machen muss? da wirds doch bestimmt komplizierter oder? bzw. mal anders gefragt: von welcher formel gehe ich zunächst aus und was mache ich dann: unser mathe skript ist nicht gerade aufschlussreich diesbezüglich und wir hatten auch noch keine übung dazu, daher frag ich
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Prinzipiell machst Du genau das gleiche. Für den linear unabhängigen Fall schaust Du wo



ist. Hier gibt es diesmal Lösungen. Für den linear Abhängigen Fall betrachtest Du wieder

(hier wird die Strecke einfach in beide Richtungen um 1 länger)
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

und für r = 3 schreib ich dann dasselbe für 3 statt 2?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

So siehts aus. Beachte dass für die Fälle r =2 und r = 3 mehr zu zeichnen ist als nur eine Strecke. Das liegt daran, dass der linear unabhängige Teil auch Lösungen enthält.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

Sobald die y Komponente größer 0 aber fix ist und der x Wert fix hab ich dann ja keine strecke auf der x achse sondern ne strecke von der x achse zur y achse oder? sodass ich im endeffekt ein dreieck habe. und wenn c sagen wir von -1 bis 1 einsetzbar ist und der x wert wieder fix sagen wir bei 1 dann hab ich doch eigentlich ein dreieck, das aussieht wir eine pfeilspitze ausgerichtet in richtung plus unendlich oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ungleichung



ist Äquivalent zu

und das ist äquivlanet zu



Das ist eine Kreisgleich(un)gleichung. Alle Punkte die diese Gleichung erfüllen und für die ist sind zu zeichnen.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok. das heißt, dass das der äußere kreisrand der des einheitskreises ist und alles was weiter nach innen zum ursprung hin geht ist da mitenthalten. oder hab ich einen fehler in der argumentation?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ah ok. das heißt, dass das der äußere kreisrand der des einheitskreises ist und alles was weiter nach innen zum ursprung hin geht ist da mitenthalten. oder hab ich einen fehler in der argumentation?


Ganz genau. Beachte , dass der Teil wo c = 0 ist, nicht zum Kreis gehört. Das kannst Du aber unmöglich zeichnen. Du solltest es aber andeuten. Zu zeichnen ist dann die Vereinigungsmenge von der Strecke (linear abhängig) und die des (Teil)Kreises (linear unabhängig).
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt das hatte ich nicht bedacht

Zitat:
Original von Mazze


Zu zeichnen ist dann die Vereinigungsmenge von der Strecke (linear abhängig) und die des (Teil)Kreises (linear unabhängig).


wie zeichne ich das dann ein? muss ich dann bzgl der strecke auf der x-achse an den rändern "striche" zeichnen, um die strecke zu markieren? bzgl des (Teil)Kreises hätte ich allerdings keine idee
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst halt alle Punkte zeichnen die zur Menge gehören. Und wenn der Kreis und die Strecke zur Menge gehören zeichnest Du beides ein. Am ende ist dann halt ein Kreis zu sehen bei dem rechts die Strecke herausschaut. Was links zu sehen ist hängt von r ab. Für r = 2 haben wir ja einen Kreis mit Radius 1 , da überdeckt die Strecke von -1 bis 3 den Teil wo c = 0 ist.

Für r = 3 haben wir einen Kreis mit Radius 4. Die Strecke geht aber nur von -2 bis 4. Das heißt für -4 bis -2 musst Du auf der x-Achse andeutet, dass dieser Streckenabschnitt nicht zur Menge gehört.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann werd ich das mal versuchen sinnvoll anschaulich zu machen. Ich danke dir vielmals. Du hast mir echt geholfen. Schönes Wochenende smile
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab das jetzt mal versucht, aufzuschreiben und habe auch schon die Skizzen gemacht. Eine letzte Frage bzgl. der Formalia: ich schreibe also quasi immer nur die Fälle (unabhängig, abhängig) mit der Formel auf und argumentiere danach wie das auszusehen bzw. für welche b,c das gilt. Danach mach ich die Skizze und bin fertig?

(wieso muss außerdem c ungleich 0 sein? Hab ich gerade gemerkt, vorhin hat ichs verstanden, aber ich häng grade an der Erklärung, jetzt wo ich eigentlich fertig bin. Könntest du es mir noch einmal erklären? )
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben den Vektor (1,0) und wir suchen die Vektoren (b,c) , so dass (b,c) linear Unabhängig zu (1,0) ist. Wäre c = 0 , dann wäre b(1,0) = (b,0) und die Vektoren während linear Abhängig. Daher muss c ungleich 0 sein damit die Vektoren linear Uanbhängig sein können.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok zu trivial für diese Uhrzeit Augenzwinkern danke
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