Lipschitz-Stetigkeit eines Vektorfeldes

09.11.2012, 15:16

wdposchmann

Lipschitz-Stetigkeit eines Vektorfeldes

Hi, ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Zitat:

Überprüfen Sie $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}_t \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(t,x) = \sqrt[3]{x^2} \end{eqnarray*}$ auf Lipschitz-Stetigkeit. Für welche Punkte $\begin{eqnarray*} (t,x) \in \mathbb{R}_t \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ existieren Umgebungen, in denen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine (lokale) Lipschitz-Bedingung erfüllt, für welche nicht?

Meine Ideen:

Per Definition gilt ja folgendes:

$\begin{eqnarray*} f: U \subseteq \mathbb{R}_t \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ heißt global L-stetig, wenn ein L>0 existiert mit $\begin{eqnarray*} |f(t,x)-f(t,y)| \leq L |x-y| \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} ((t,x),(t,y) \in U) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f: U \subseteq \mathbb{R}_t \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ heißt lokal L-stetig, wenn für alle $\begin{eqnarray*} (t,y) \in U \end{eqnarray*}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray*} V \subseteq U \end{eqnarray*}$ und eine Konstante L>0 existieren mit $\begin{eqnarray*} |f(t,z)-f(t,y)| \leq L |z-y| \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} ((t,y),(t,z) \in U) \end{eqnarray*}$ .

Naja, jetzt fange ich eben wie gewohnt an:

$\begin{eqnarray*} |\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{y^2}| = \end{eqnarray*}$

Ich könnte jetzt die Wurzel z.B. als Potenz schreiben aber was ich auch versuche, ich komme auf nichts. Mein generelles Problem dabei ist zudem, dass ich keinerlei Vorstellung habe, wie ich Punkte angeben soll, für die diese lokale Umgebung existiert.

Ich hoffe, jemand von euch kann mir helfen.

Gruß

09.11.2012, 16:15

RavenOnJ

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was soll denn das t?

09.11.2012, 16:55

wdposchmann

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Naja t ist die Variable von der x und y in dem Fall abhängen. f(t,x) ist dann ein Vektorfeld. Es gilt hier also die L-Stetigkeit für Vektorfelder zu zeigen.

09.11.2012, 18:10

Cugu

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Das Einfachste ist, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ partiell nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abzuleiten und dann den Mittelwertsatz zu benutzen.
Punkte in denen die partielle Ableitung nicht existiert, musst du dann noch gesondert betrachten.

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