unendliche Reihen erklären

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09.11.2012, 16:09	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
unendliche Reihen erklären Hi ich habe jetzt unendliche Reihen gekriegt in der Vorlesung, aber ich versteh die noch nicht so ganz. Ich würde mich freuen, wenn ich ein paar Übungsaufgaben, die ich gekriegt habe erklärt kriegen könnte. Zum beispiel diese: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=-2}^\infty (- \frac{1}{5})^{-3k} \end{eqnarray}$ Also ich meine, dass diese Reihe unbestimmt divergent ist, weil das ja alterniert. aber beim Beweis hörts dann auf. Wie schreibe ich das mathematisch auf und beweise das auch. was ich mir halt überlegt habe ist, dass hier wegen dem exponenten ja immer das ganze alterniert, weil da ja die basis negativ ist. mach ich das mit fallunterscheidung? also 1. fall k <= 0 2. fall k > 0 und 3k ist gerade 3. fall k > 0 und 3k ist ungerade
09.11.2012, 16:26	Causal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: unendliche Reihen erklären Zunächst würde ich eine Indexverschiebung machen. Sprich $\begin{eqnarray} k=-2 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ bringen. Dann würde ich an deiner Stelle schauen, was für Kriterien ihr hattet und diese ggf. anwenden. Gruß, Causal
09.11.2012, 16:50	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty (- \frac{1}{5})^{-3(k-2)} \end{eqnarray}$ wie meinst du das mit den kriterien??
09.11.2012, 17:16	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein näher Verwanter deiner Reihe sieht so aus: $\begin{eqnarray} 1-125+125^2-125^3+... \end{eqnarray}$ Würdest du diese - jetzt nur aus dem Bauch heraus - für konvergent halten?
10.11.2012, 16:26	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
aus dem bauch heraus würde ich schon ohne ausrechnen und werte einsetzten sagen, dass ding ist unbestimmt divergent, wegen der negativen basis... jetzt will ich aber wissen, wie ich das beweisen kann... man kann ja nicht später in der klausur einfach raufgucken und schreiben "unbestimmt divergent, weil ich das sehe"...
10.11.2012, 18:40	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, eine der einfachsten Bedingungen für die Konvergenz einer Reihe - wenn halt leider nur eine notwendige - ist, dass ihre Glieder eine Nullfolge bilden...
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10.11.2012, 19:14	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty (- \frac{1}{5}) ^{-3(k-2)} = \sum\limits_{k=0}^\infty (-125)^{k-2} \end{eqnarray}$ und da dies eine geometrische reihe ist, und -125 <= -1 ist, ist diese Reihe unbestimmt divergent? kann man das so sagen???
10.11.2012, 19:23	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine geometrische Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty b_0 q^k \end{eqnarray}$ ist genau dann konvergent (und zwar gegen $\begin{eqnarray} \frac {b_0}{1-q} \end{eqnarray}$ ) wenn gilt \|q\|<1, und das ist hier offensichtlich nicht erfüllt...
10.11.2012, 19:42	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ja und wenn das q > 1 ist, besteht bestimmte divergenz gegen unendlich und wenn q < 1 ist, besteht unbestimmte divergenz, was wir in diesem falle ja vorliegen haben. dann das gnaze nur noch mal verständnishalber: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=3}^\infty (\frac{2}{3} )^{-2k-1} = \sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{2}{3} )^{-2(k+3)-1} = \sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{2}{3} )^{-2k+5} = \sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{2}{3} )^{-2k} (\frac{2}{3} )^5 = \frac{32}{243} * \sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{4}{9})^k \end{eqnarray}$ und da hier jetzt nämlich -1 < 4/9 < 1 ist, haben wir konvergennz und daraus folgt dann $\begin{eqnarray} \frac{32}{243} * \frac{1}{1-\frac{4}{9} } = \frac{32}{135} \end{eqnarray*}$
10.11.2012, 20:51	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch einmal: Es muss \|q\|<1 gelten (also -1<q<1) und nicht q<1!!! Daher fällt auch der Wert q=-125 von obiger Reihe nicht unter die Bedingung \|q\|<1 und diese Reihe ist damit klar divergent...
10.11.2012, 21:05	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm also bei mir im skript steht q <= -1 => unbestimmt divergent -1 < q < 1 => konvergenz q >= 1 => bestimmt divergent gegen unendlich edit: ich glaub ich hab das oben falsch geschrieben... sorry
10.11.2012, 21:10	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss gestehen, ich kann mit dem Begriff "unbestimmt divergent" jetzt nichts anfangen, wichtig ist aber im Moment doch nur, dass die Reihe dann sicher nicht konvergent ist und das steht ja auch im Skriptum so, oder?
10.11.2012, 21:21	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
unbestimmt divergent ist alles was nicht bestimmt divergent ist also nicht gegen unendlich oder -unendlich geht und nicht konvergent ist. also keinen grenzwert hat. bestes beispiel ist -1^n
10.11.2012, 21:26	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, soll mir auch recht sein... Wichtig ist mir nur, dass die Reihe in diesem Fall nicht konvergiert...
10.11.2012, 21:32	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
was ist mit der anderen reihe die ich dahin geschrieben habe??? ist das so richtig?

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