Ungleichung

09.11.2012, 18:35	Midas	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung Guten Tag, Es handelt sich um folgende Ungleichung: Sei $\begin{eqnarray} a\leq b \end{eqnarray}$ . Zeige, dass folgende Ungelichung gilt: $\begin{eqnarray} 1-\frac {b\cdot (b-1)\cdot ... \cdot (b-a+1)}{b^a}\leq \frac {a(a-1)}{b} \end{eqnarray}$ Ich soll dabei $\begin{eqnarray} 1-ax\leq (1-x)^a \end{eqnarray}$ verwenden. Ich hänge aber leider. Mein Ansatz war bisher: $\begin{eqnarray} 1-\frac {b\cdot (b-1)\cdot ... \cdot (b-a+1)}{b^a}\leq 1-\frac {a\cdot (a-1)\cdot ... \cdot (+1)}{b^a}=1-\frac {a!}{b^a}\leq (1-\frac {(a-1)!}{b^a})^a=(\frac {b^a-(a-1)!}{b^a})^a \end{eqnarray}$ Aber weiter weiß ich leider nicht. Danke für eure Hilfe, Gruß
09.11.2012, 18:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Board gab es letzthin öfters Threads wie diesen hier: Vollständige Induktion Wenn ihr etwa das schon bewiesen hab, dann folgt die Aussage hier direkt durch Einsetzen von $\begin{eqnarray} n=a-1,\; x_k = \frac{k}{b} \end{eqnarray}$ . EDIT: Ach ich sehe gerade, dass man mit diesem Weg sogar das stärkere $\begin{eqnarray} 1-\frac {b\cdot (b-1)\cdot \ldots \cdot (b-a+1)}{b^a}\leq \frac {a(a-1)}{2b} \end{eqnarray}$ nachweisen kann. Für deine ursprüngliche Ungleichung kann man weit grober vorgehen via $\begin{eqnarray} b(b-1)(b-2)\cdot \ldots \cdot (b-(a-1)) \geq (b-(a-1))^a \end{eqnarray}$ .

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