Supremumsnorm für stetige Funktionen

09.11.2012, 23:37

Anahita

Supremumsnorm für stetige Funktionen

Hallo!

Wir haben heute die Supremumsnorm angeschaut: Für kompaktes $\begin{eqnarray*} K \subset R^{d} \end{eqnarray*}$ und stetiges f:

$\begin{eqnarray*} f: K \rightarrow \mathbb R^n, \|f\|_{C^0(K, \mathbb R )} = sup_{x \in K}\|f(x)\| \end{eqnarray*}$

definiert eine Norm auf C^0

Ich glaub das verstehe ich (für stetige Funktionen auf einer kompakten Menge, wobei die stetigen Funktionen als "C^0" bezeichnet werden, definiert man eine Norm mit Hilfe der euklidischen Norm in unserem Fall, wobei man das Supremum der Funktionswerte der Norm nimmt).

Was ich nicht verstehe, ist das unser Prof gesagt hat, dass die Supremumsnorm in diesem Fall mit der Maximumsnorm übereinstimmt. Er hat gesagt, "das sei ja offensichtlich". Für mich ists nicht offensichtlich >_>

Das Einzige, was ich dann gefunden habe, ist der Satz, dass kompakte Mengen in R über ein Minimum und ein Maximum verfügen. Kann man es daher ableiten?

Vielen Dank!

09.11.2012, 23:44

Anahita

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Ich glaub ich habs!

- Kompakte Mengen in R^d haben ein Min und ein Max -> wenn f stetig ist, ist f(K) kompakt -> f(K) hat ein Min und ein Max -> Wenn eine Menge ein Minimum und ein Maximum hat, sind das jeweils auch das Supremum und das Infimum der Menge.
Stimmt das?! :-D

09.11.2012, 23:47

Cugu

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10.11.2012, 00:19

Anahita

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Ich hab noch eine Frage: Für eine Norm muss ja u.a. Folgendes gelten:

$\begin{eqnarray*} \|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0 \end{eqnarray*}$

aber was heisst das für die Norm hier? Muss für Norm(f(x)) = 0 einfach f(x) = 0 sein oder muss x = 0 sein? Und wenn f(x) = 0 sein muss, muss das für alle x aus dem Definitionsbereich gelten?

10.11.2012, 00:27

Cugu

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Ist $\begin{eqnarray*} \|f\|_{C^0(K, \mathbb R )} =0 \end{eqnarray*}$ , dann muss $\begin{eqnarray*} f=0 \end{eqnarray*}$ sein, d.h. $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in K \end{eqnarray*}$ .

Für die gegebene Norm stimmt das, denn wäre $\begin{eqnarray*} f(y)=z \neq 0 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} y\in K \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \|f\|_{C^0(K, \mathbb R )} \geq \|f(y)\|= \|z\| > 0 \end{eqnarray*}$ .
Dabei benutzt man, dass $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ eine Norm ist.

10.11.2012, 00:36

Anahita

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Vielen Dank, das hat sehr geholfen.
Dann noch kurz zu den anderen zwei Eigenschaften:

(i) Positive Homogenität folgt einfach aus der Definition von Betrag und Norm
(ii) Dafür, dass die Dreiecksungleichung erfüllt ist, benutzt man die Eigenschaft, dass C^0 ein Vektorraum ist?

thx!

10.11.2012, 01:51

Cugu

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Man benutzt für jede der drei Eigenschaften die jeweilige Eigenschaft der euklidischen Norm und die des Supremums.

Natürlich benötigt man die Vektorraumstruktur von $\begin{eqnarray*} C^0(K, \mathbb R ) \end{eqnarray*}$ um überhaupt erst $\begin{eqnarray*} \|\lambda\cdot f\| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \|f + g\| \end{eqnarray*}$ schreiben zu dürfen.

10.11.2012, 07:25

Anahita

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Ok.

Bezüglich der Dreiecksungleichung gilt ja für Funktionen:

$\begin{eqnarray*} \|f(x)+g(x)\| \leq \|f(x)\| + \|g(x)\| \end{eqnarray*}$

Das gilt zwar für beliebige x - aber eingesetzt muss man ja links und rechts jeweils das gleiche x.

Hier aber:

$\begin{eqnarray*} sup_{x \in K} \|f(x)+g(x)\| \leq \|f\|_{C^0}+\|g\|_{C^0} \end{eqnarray*}$

sieht es so aus, dass links ein bestimmtes x steht, rechts aber über alle x quantifiziert wird - stimmt das? (i.e. dazu wird also Dreiecksungleichung sowie gleichzeitig die Eigenschaft des Norm verwendet?)

Lg

10.11.2012, 15:54

Cugu

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Zitat:

Das gilt zwar für beliebige x - aber eingesetzt muss man ja links und rechts jeweils das gleiche x.

Man erhält also:
$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in K} \|f(x)+g(x)\| \leq \sup_{x \in K}( \|f(x)\| + \| g(x)\|) \end{eqnarray*}$

Zitat:

sieht es so aus, dass links ein bestimmtes x steht, rechts aber über alle x quantifiziert wird - stimmt das?

Wenn du das hier meinst, dann stimmt das:
$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in K} ( \|f(x)\| + \| g(x)\|) \leq \sup_{y \in K} \|f(y)\| + \sup_{z \in K} \| g(z)\|) \end{eqnarray*}$
Ich habe neue Buchstaben gewählt damit klar, ist dass die Suprema an verschiedenen Punkten angenommen werden können.

Wenn du nun beides zusammen setz, steht dort in der Tat:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in K} \|f(x)+g(x)\| \leq \|f\|_{C^0}+\|g\|_{C^0} \end{eqnarray*}$

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