Abkühlung mithilfe der e-Funktion beschreiben |
| 10.11.2012, 08:40 | vierhundert | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Abkühlung mithilfe der e-Funktion beschreiben Also, wir haben letzte Stunde im Matheunterricht eine Aufgabe bekommen, mit der ich nur teilweise was anfangen kann... Wäre nett, wenn ihr mir das näher bringen könntet! 
Und zwar haben wir dazu einen kleinen wVersuch gemacht, in dem wir gemessen haben, um wieiel Grad pro Minute heisses Wasser in einem Porzellanbecher abkühlt. Die aufgeschriebenen Werte sind die folgenden: 0=77; 1=73; 2=71; 3=69; 4=67; 5=66; 6=64.5; 7=63; 8=62; 9=61; 10=60. a) Graphen skizzieren b) Schätzen Sie, welche Temp. das Wasser nach genügend langer Zeit (30min, 60min) annimmt. c) Bestimmten Sie, um wieviel Prozent der noch vorhandenen Temperaturdifferenz zur Umgebungstemperatur sich das Wasser pro Minute abkühlt. d) Stellen Sie eine Gleichung auf, in der die Funktion und ihre Ableitung gleichzeitig vorkommen. Man nennt eine solche Gleichung auch eine Differenzialgleichung. e) Finden Sie ein Funktion f(x), welche die Differenzialgleichung erfüllt und die e-Funktion enthält. f) Beschreiben Sie, wie der Temperaturverlauf sich verändert, wenn 1. die Außentemperatur anders ist und 2. Sie statt dem gegebenen Becher einen Pappbecher gehabt hätten. Wir sollen die Aufgaben am besten mit dem GTR lösen. Meine Ideen: a) Graph fängt bei 77°C an unf fällt dann, aber nicht linear... also das ist kein PRoblem für mich... b) bei 30min weiß ich es nicht, aber bei 60min dahcte ich auf Zimmertemeratur? c) von 60°C auf ca. 20°C sind 66.6%... sagen wir nach einer Std. ist Zimmertemperatur erreicht.... 66,6% / 50min(weil 10min schon abgelaufen sind) =1,332% ... Wasser muss sich um 1,332% /min abkühlen??? d) und e) keinen blassen schimmer f) 1. kälter -> kühlt schneller ab; wärmer -> kühlt langsamer ab; 2. kühlt schenller ab (sieht aus wie kälter) |
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| 10.11.2012, 13:46 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Raumtemperatur (Umgebungstemperatur u) ist ein fester Wert und wird theoretisch erst nach unendlich langer Zeit erreicht, denn sie ist ein Grenzwert der (mit der Zeit fallenden) Temperaturkurve. Praktisch wird diese natürlich viel früher (mit einem minimalen Fehler) erreicht sein. Zur Differentialgleichung: Der Temperaturgradient (Änderungsgeschwindigkeit der Abkühlung, d. i. 1. Ableitung der Temperatur/Zeit-Funktion f(t)) ist proportional zur Differenz der momentanen Temperatur f(t) und der Raumtemperatur (f(t) - u) .. [Sättigungsmanko] Da die Temperatur mit fortschreitender Zeit fallend ist, bezeichne den Proportionalitätsfaktor mit -k (negativer Temperaturkoeffizient bei Abkühlung). Die Differentialgleichung löst du mittels Trennung der Variablen. Dabei musst du auf eine e-Funktion kommen. Im Gesamten wird die Temperaturkurve dann so aussehen: Nun setzt man auch noch die Anfangstemperatur bei Beginn des Abkühlungsvorganges ein, diese ist die Temperatur zum Zeitpunkt t = 0, also f(0). Somit wird sich für a ergeben: An anderer Stelle dieses Forums wurde ebenfalls diese Funktion - mit etwas anderen Bezeichnungen - beschrieben: --> berechnung der funktion von wasser beim abkühlen Mittels eines der angegebenen Messwerte ist letztendlich der Koeffizient k zu bestimmen. mY+ |
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| 10.11.2012, 14:35 | vierhundert | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich werd's mal durcharbeiten und sehen inwieweit ich es verstehe. Aber danke aufjeden fall!
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