Rekursive Folge ohne Startwert

10.11.2012, 11:00

Unwissender2

Rekursive Folge ohne Startwert

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich soll eine rekursiv definierte Folge auf Konvergenz und Grenzwert untersuchen. Folgend die Formel
$\begin{eqnarray*} a_{n} :=\frac{1}{2} (a_{n-1}+ \frac{x}{a_{n-1}} ) \end{eqnarray*}$ Für n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1
Dabei sei $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R, x \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{0} \geq 0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein Problem ist, dass ich den Anfang nicht richtig finde, da ich keinen Startwert gegeben habe.
Zeigen muss ich ja folgendes:
1. $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ fällt oder wächst monoton
2. $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ist beschränkt
3. a = $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to inf} a_{n} \end{eqnarray*}$

Zu der 1:
Das Ganze würde per Induktion funktionieren. Wäre auch alles kein Problem, wenn ich ein genaues $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ gegeben hätte...

Vermutlich komme ich weiter, sobald ich das Problem gelöst habe, aber irgendwie stehe ich da ganz schön auf dem Schlauch -.-...

10.11.2012, 11:09

Monoid

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RE: Rekursive Folge ohne Startwert
Das geht ohne Startwert schlecht. verwirrt

10.11.2012, 11:13

Unwissender2

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RE: Rekursive Folge ohne Startwert

Zitat:

Original von Mathemathemathe
Das geht ohne Startwert schlecht. verwirrt

Ich habe gerade gesehen, dass noch ein Hinweis erstellt wurde.

Betrachten Sie $\begin{eqnarray*} a_{n}^2 - x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ und zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} a_{n}\geq \sqrt{x } \end{eqnarray*}$

Nun ja...

10.11.2012, 11:34

DrZee

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Am besten zeigst du zuerst, dass die Folge beschränkt ist und danach die Monotonie.
In dem Hinweis steht, dass man zeigen soll, dass $\begin{eqnarray*} a_n \le \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ gilt, also dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ eine untere Schranke ist. Wenn du diese Ungleichung umformst, sodass $\begin{eqnarray*} a_n^2-x \end{eqnarray*}$ auf einer Seite steht, kannst du sie von da aus weiter umformen, bis du die gewünschte Aussage erhältst.
Einen expliziten Startwert brauchst du für keine der Teilaufgaben.

10.11.2012, 12:06

Unwissender2

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Zitat:

Original von DrZee
Am besten zeigst du zuerst, dass die Folge beschränkt ist und danach die Monotonie.
In dem Hinweis steht, dass man zeigen soll, dass $\begin{eqnarray*} a_n \le \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ gilt, also dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ eine untere Schranke ist. Wenn du diese Ungleichung umformst, sodass $\begin{eqnarray*} a_n^2-x \end{eqnarray*}$ auf einer Seite steht, kannst du sie von da aus weiter umformen, bis du die gewünschte Aussage erhältst.
Einen expliziten Startwert brauchst du für keine der Teilaufgaben.

Hallo Dr. Zee,

also eigentlich muss ich nur den Ausdruck $\begin{eqnarray*} (a_n)^2 \end{eqnarray*}$ berechnen und das Ganze entsprechend umstellen?
$\begin{eqnarray*} <br /> (a_n)^2=\frac{1}{4} (a_{n-1} +\frac{x}{a_{n-1} } )^2<br /> = \frac{1}{4} (a_{n-1}^2+2*a_{n-1}*\frac{x}{a_{n-1} } +\frac{x^2}{a_{n-1}^2 } )<br /> =\frac{1}{4} (a_{n-1}^2 + 2x + \frac{x^2}{a_{n-1}^2 } )<br /> \end{eqnarray*}$

Anscheind bin ich dafür schon zu blöd, zumindest sehe ich hier keine Option um weiter zu kommen oder ich habe bis hierhin schon fehler gemacht unglücklich

10.11.2012, 12:18

DrZee

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Die Rechnung, die du aufgeschrieben hast ist richtig, aber so ist das noch nicht ganz zielführend. Du sollst nicht $\begin{eqnarray*} a_n^2 \end{eqnarray*}$ berechnen, sondern zeigen, dass alle Folgenglieder von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ größer oder gleich $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ sind (in meinem ersten Post habe ich versehentlich das Ungleichheitszeichen umgedreht!). Wenn du diese Ungleichung umformst, erhältst du:

$\begin{eqnarray*} a_n \ge \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a_n^2 \ge x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a_n^2 - x \ge 0 \end{eqnarray*}$

Ist das so weit verständlich? smile

Ab hier kannst du jetzt weiter machen ( $\begin{eqnarray*} a_n^2 - x \end{eqnarray*}$ umformen) und das verwenden, was du bisher gerechnet hast. Am Ende musst du einen Term da stehen haben, von dem du sagen kannst, dass er größer oder gleich 0 ist, womit die Aussage dann gezeigt wäre.

10.11.2012, 12:26

Unwissender2

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Zitat:

Original von DrZee
Wenn du diese Ungleichung umformst, erhältst du:

$\begin{eqnarray*} a_n \ge \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a_n^2 \ge x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a_n^2 - x \ge 0 \end{eqnarray*}$

Ist das so weit verständlich? smile

Ah ok, ja jetzt ist mir klar, was du mir sagen möchtest. Darf ich denn die Umformung $\begin{eqnarray*} a_{n} \geq \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ überhaupt verwenden? Es ist ja "nur" ein Hinweis. Ich hätte jetzt von der Aufgabenstellung zu dem Hinweis hinzuarbeiten und ihn nicht direkt als gegeben vorausgesetzt.

10.11.2012, 12:44

DrZee

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Ich bin mir ziemlich sicher, dass man das verwenden darf. Denn was man letztendlich zeigen will ist ja, dass die Folge nach unten beschränkt ist. Nach einer bestimmten Schranke ist nicht gefragt, deshalb kann man die Aussage theoretisch auch für eine beliebige Schranke zeigen.

11.11.2012, 12:34

Unwissender2

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Ok, also wenn man das anwenden darf, dann müsste ich ja eigentlich nur meine Rechnung von weiter oben ergänzen:
$\begin{eqnarray*} (a_n)^2-x=\frac{1}{4} (a_{n-1} +\frac{x}{a_{n-1} } )^2-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4}a_{n-1}^2 - \frac{x}{2}+\frac{x^2}{4a_{n-1}^2 } \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich behaupten, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}a_{n-1}^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{4a_{n-1}^2 } \end{eqnarray*}$ größer als 0 sind, aber $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ ist definitiv kleiner als 0.
Soweit ich weiß, reicht das so nicht, um behaupten zu können, dass der Gesamtausdruck größer als 0 ist oder?

11.11.2012, 12:40

DrZee

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Genau, aber du bist nur noch einen Schritt von der Lösung entfernt. Versuch' mal den Schritt vom Anfang der Rechnung wieder "rückgängig" zu machen, also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ auszuklammern und die binomische Formel anzuwenden.

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