Grundlegende Frage Def. Differenzierbarkeit |
| 10.11.2012, 12:31 | Anahita | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Grundlegende Frage Def. Differenzierbarkeit Laut Definition heisst eine Funktion f differenzierbar an der Stelle x_0 wenn der folgende Grenzwert existiert: Meine Frage: Ist x_0 ein Häufungspunkt der (Definitions-)menge? Schliesslich betrachtet man ja einen Grenzwert...andererseits braucht man ja z.B zum bestimmen eines Grenzwertes nicht unbedingt beliebig viele Elemente einer Menge, wenn man zB an die konstante Folge a_n = 1 für beliebige n denkt. Dankschön |
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| 10.11.2012, 12:57 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Grundlegende Frage Def. Differenzierbarkeit Ich sehe nicht wo man bei der Definition bräuchte, dass x_0 ein Häufungspunkt ist. Die Bedingung wird bloss trivial. Ist x_0 isoliert, so exisitiert keine fast-konstante Folge, die gegen dieses x_0 konvergiert. Daher muss der Quotient nur für insgesamt 0 verschiedene Folgen konvergieren, und für jede Folge aus dieser leeren Menge der zulässigen Folgen konvergiert der Quotient. Allerdings sieht man an dem "Nonsense" da oben, dass es sinnvoll ist es nur für Häufungspunkte zu definieren, weil an isolierten Stellen so jeder Ableitungswert gültig wäre und die Ableitung keine eindeutig definierte Funktion mehr wäre. Also notwendig wäre es nicht, aber mehr als hilfreich. |
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| 10.11.2012, 13:35 | Anahita | Auf diesen Beitrag antworten » |
=> Nur 0 "fast-konstante" Folgen wegen x != x_0 (deshalb muss Folge fast-konstant sein, konvergiert aber gleichzeitig nicht, ie keine konv Folge). Versteh ich dich da richtig? Vielen Dank |
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| 10.11.2012, 17:04 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn x_0 kein Häufungspunkt ist, dann konvergiert nur eine Folge gegen x_0, wenn fast alle Folgenglieder x_0 sind. Und die Folgen (und noch mehr) schließt die Bedingung x \neq x_0 aus. Dementsprechend wird der Limes über eine leere Menge von Folgen gebildet -- die Bedingung ist trivial. Tut mir Leid, dass ich so spät antworte. |
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