Nullmenge, achsenparallele Quader

10.11.2012, 14:35

1nstinct

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Nullmenge, achsenparallele Quader

Hallo zusammen,

Ich bin bei folgender Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} N\subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist genau dann Nullmenge, wenn es eine Folge achsenparalleler Quader $\begin{eqnarray*} Q_j \end{eqnarray*}$ gibt, so dass jeder Punkt in $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ in unendlich vielen $\begin{eqnarray*} Q_j \end{eqnarray*}$ liegt, mit $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^\infty \lambda ^n(Q_j)<\infty \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

Ich versuchs erst mal, in Worten zu erklären:

Ich nehme ein Element n aus N und ordne diesem einen achsenparallelen Quader zu, der eine Seitenlänge gleich 0 besitzt. Ich habe mir das im $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ so vogestellt: $\begin{eqnarray*} n=(x,y) \end{eqnarray*}$ . Dann besteht der Quader aus den Seitenlängen a=0 und b=y. Somit würde er n beinhalten und $\begin{eqnarray*} \int \lambda^2(Q)=0 \end{eqnarray*}$ .

Kann ich das so machen, oder ist dieser Weg falsch?

MfG

10.11.2012, 15:27

Causal

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RE: Nullmenge, achsenparallele Quader
Hi,

du sollst eher zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ eine Nullmenge ist, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lambda^{n} (N) \leq \sum\limits_{j} \lambda^{n} (Q_j) < \infty \end{eqnarray*}$ .

Such doch mal nach achsenparallelen Quadern mit rationalen Eckpunkten.

Gruß, Causal

10.11.2012, 16:13

1nstinct

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RE: Nullmenge, achsenparallele Quader
Danke für deine Hilfe smile

smile

Seien $\begin{eqnarray*} a_1,a_2\in N, a_i=(a_{i1},a_{i2},..,a_{in}) \end{eqnarray*}$ .

Könnte ich dann als Eckpunkte eine Quaders $\begin{eqnarray*} max\left\{ a_1,a_2\right\}:=(max\left\{ a_{11},a_{21}\right\} ,..,max\left\{a_{1n}a_{2n}\right\}) \end{eqnarray*}$ .

Dann würden $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ in diesem Quader liegen.

Somit könnte ich $\begin{eqnarray*} \forall a_k,a_l\in N \end{eqnarray*}$ einen Quader bilden, der beide Punkte enthält.

MfG

10.11.2012, 16:29

Causal

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RE: Nullmenge, achsenparallele Quader
Gerne Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du sollst nicht ein bestimmtes $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ wählen, sondern eine beliebige Nullmenge.
Nullmengen sind i.A. ziemlich irregulär, bsp Cantormenge.
Nimm dir ein Intervall $\begin{eqnarray*} Q_j = [.., ..] \end{eqnarray*}$ , sd. $\begin{eqnarray*} N \subset \bigcup\limits_{j=1}^{\infty} Q_j \end{eqnarray*}$ , dann hättest du sowas wie:

$\begin{eqnarray*} \lambda^{n}(N) \leq \lambda^{n} \left( \bigcup\limits_{j=1}^{\infty} Q_j \right) \leq \sum\limits_{j=1}^{\infty} \lambda^{n}(Q_j) < \varepsilon \end{eqnarray*}$
Beachte das die $\begin{eqnarray*} Q_j \end{eqnarray*}$ nicht paarweise disjunkt sein müssen.

Gruß, Causal

10.11.2012, 17:11

1nstinct

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RE: Nullmenge, achsenparallele Quader
Ok, so ganz verstehe ich das leider noch nicht.

Ich beschreibe die Quader also als Intervalle $\begin{eqnarray*} [a_j,b_j]^n \end{eqnarray*}$ und bestimme $\begin{eqnarray*} a_j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_j \end{eqnarray*}$ so, dass N in der Vereiningung der Quader liegt.

Ich könnte die $\begin{eqnarray*} Q_j \end{eqnarray*}$ den gesamten $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ beschreiben lassen, aber das ist mit Sicherheit nicht Sinn der Sache, da dann ja $\begin{eqnarray*} \sum_j\lambda^n(Q_j)=\infty \end{eqnarray*}$ wäre.

Aber wie kann ich $\begin{eqnarray*} Q_j \end{eqnarray*}$ ein Intervall zuordnen, wenn ich nichts über $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ weiß?

MfG

10.11.2012, 17:27

Causal

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RE: Nullmenge, achsenparallele Quader
Ich muss gleich weg, daher ein kleiner Hinweis noch.
Du weißt $\begin{eqnarray*} N \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ . Finde eine Folge von $\begin{eqnarray*} Q_j \end{eqnarray*}$ , sd
$\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{j} Q_j = \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .
Damit wäre $\begin{eqnarray*} N \subset \bigcup\limits_{j} Q_j \end{eqnarray*}$ .
Vergiss dabei nicht, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j} \lambda^{n}(Q_j) < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Ich zeige dir jetzt ein Beispiel, wo es schiefgehen kann.
Sei $\begin{eqnarray*} Q_j = [-j, j]^n \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{j=1}^{\infty} [-j,j]^n = \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda^{n}([-j,j]^n) = (2j)^n & \forall j \end{eqnarray*}$ .
Aber $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{\infty} \lambda^{n}([-j,j]^n) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} (2j)^n \end{eqnarray*}$ konvergiert nicht.

Ich hoffe das hilft dir.

Gruß, Causal

Achja, $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} \sum \lambda^{n}(Q_j) < \varepsilon \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \sum \lambda^{n}(Q_j) < \infty \end{eqnarray*}$ . Denn
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{\infty} (-1)^j < \infty \end{eqnarray*}$ , aber die Reihe konvergiert nicht.

So bin jetzt weg Big Laugh

Big Laugh

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10.11.2012, 18:07

Ungewiss

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RE: Nullmenge, achsenparallele Quader

Zitat:

Original von Causal
Finde eine Folge von $\begin{eqnarray*} Q_j \end{eqnarray*}$ , sd
$\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{j} Q_j = \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .
Damit wäre $\begin{eqnarray*} N \subset \bigcup\limits_{j} Q_j \end{eqnarray*}$ .
Vergiss dabei nicht, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j} \lambda^{n}(Q_j) < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Ich glaube nicht dass es so eine Folge gibt Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \infty=\lambda(\mathbb{R}^n)=\lambda\left(\bigcup_j Q_j\right)\leq\sum_j\lambda(Q_j)<\epsilon \end{eqnarray*}$

Interessant wäre zu wissen, welche Charakterisierungen von Nullmengen bekannt sind. Ich nehme mal diese
$\begin{eqnarray*} N\text{ Nullmenge}\Longleftrightarrow\ \forall\epsilon>0\text{ existiert eine Folge von Quadern }(Q_j)\text{ mit }N\subset\bigcup_j Q_j\text{ und }\sum_j\lambda(Q_j)<\epsilon \end{eqnarray*}$

Die eine Richtung kriegt man hin, indem man sukzessive für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^k} \end{eqnarray*}$ Folgen von Quadern mit der angebenen Eigenschaft sucht, und dann alle Quader auf einmal nimmt.

Die andere Richtung kriegt man hin, wenn man benutzt, dass die Konvergenz der Reihe bedeutet, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein N gibt, so dass $\begin{eqnarray*} \sum_{j\geq N} \lambda (Q_j) <\epsilon \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

10.11.2012, 19:32

1nstinct

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RE: Nullmenge, achsenparallele Quader
Hallo,

Es sei $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ eine Nullmenge.

Also muss ich nun eine Folge $\begin{eqnarray*} Q_j \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} \sum_j\lambda^n(Q_j)<1/2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N\subset \bigcup_j Q_j \end{eqnarray*}$ .

MfG

10.11.2012, 19:50

Ungewiss

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Dass es so eine Folge gibt, weisst du bereits, da N eine Nullmenge ist. In dieser Aufgabe musst du nicht unbedingt irgendetwas konkret konstruieren.

Und du solltest die Quader mit zwei Indizes versehen, also z.B. $\begin{eqnarray*} Q_j^1 \end{eqnarray*}$

10.11.2012, 20:16

1nstinct

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Ich habe eben im Skrip nachgeschaut und finde als Definition einer Nullmenge: \lambda(N)=0.

Also müsste ich

Zitat:

$\begin{eqnarray*} N\text{ Nullmenge}\Longleftrightarrow\ \forall\epsilon>0\text{ existiert eine Folge von Quadern }(Q_j)\text{ mit }N\subset\bigcup_j Q_j\text{ und }\sum_j\lambda(Q_j)<\epsilon \end{eqnarray*}$

erst noch zeigen.

Dann definiere ich $\begin{eqnarray*} Q_j^m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum_j\lambda^n(Q_j^m)<\frac{1}{2^m} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N\subset (Q_j^m)_j \end{eqnarray*}$

Wenn ich dich richtig verstanden habe, muss ich jetzt $\begin{eqnarray*} N\subset \bigcup_m(Q_j^m)_j \end{eqnarray*}$ betrachten.

$\begin{eqnarray*} \sum_j \lambda^n (\bigcup_mQ_j^m)<\sum_i\frac {1}{2^i}<\infty \end{eqnarray*}$

MfG

10.11.2012, 20:37

Ungewiss

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Dann musst du noch weiter zurückblättern und schauen wie das Maß einer Menge definiert wurde.

Wenn da sowas steht wie $\begin{eqnarray*} \lambda(A)=\inf_{\substack{Q_j \text{ Quader}\\ A\subset \cup_j Q_j}}\sum_j \lambda(Q_j) \end{eqnarray*}$ , für messbares A, dann musst du das nicht mehr zeigen, sondern das folgt direkt aus der Definition.

Deine erste Zeile stimmt noch, aber dann solltest du $\begin{eqnarray*} N\subset\bigcup_{j,m}Q_j^m \end{eqnarray*}$ betrachten.

10.11.2012, 20:49

1nstinct

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Iich habe die Stelle gefunden smile

smile

Vielen Dank.

Also betrachte ich $\begin{eqnarray*} \bigcup_{j,m}Q_j^m \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \sum_{j,m}\lambda^n(\bigcup Q_j^m)<\sum_i \frac{1}{2^i}<\infty \end{eqnarray*}$

MfG

10.11.2012, 21:31

Ungewiss

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In der ersten Summe solltest du noch die Vereinigung streichen, aber sonst passt es.

10.11.2012, 21:56

1nstinct

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Für die Rückrichtung:

In Worten heisst es doch, dass Aufgrund der Konvergenz der Reihe ich das Epsilon beliebig kleich machen kann, also im Liemes betrachtet gegen 0 gehen lassen kann und somit das Maß gegen Null geht?!

MfG

10.11.2012, 22:01

Ungewiss

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Für die Rückrichtung kannst du dir die Vereinigung der Quader mit Index grösser gleich N anschauen, die du für jedes epsilon kriegst. Aus der Bedingung an die Quader, kriegt man raus, dass diese noch immer N überdecken. Also die Idee ist die Bedingung nachzuweisen, die ich weiter oben geschrieben habe.

10.11.2012, 23:51

1nstinct

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Sei also $\begin{eqnarray*} N\subset \bigcup Q_j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum_j \lambda^n(Q_j)<\epsilon \end{eqnarray*}$ . Sei nun $\begin{eqnarray*} I\geq 1\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt aufgrund der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_j \lambda^n(Q_j) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \forall \mu>0: \sum_{I}^\infty \lambda^n(Q_j)<\mu \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Deshalb gilt:

$\begin{eqnarray*} N\subset \sum_{I}^\infty \lambda^n(Q_j) \end{eqnarray*}$

Folgt nun, dass $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ eine Nullmenge ist, da ich die $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ja beliebig klein wählen kann?

MfG

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