Beweis: Endlicher Körper nie angeordnet

10.11.2012, 15:34	donpain	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Endlicher Körper nie angeordnet Guten Tag! Wie zeige ich, dass ein endlicher Körper nie angeordnet ist? Mein Ansatz bis jetzt: Sei K endlicher, angeordneter Körper. Da K endlich: $\begin{eqnarray} \exists x\in K: x=max(K) \end{eqnarray}$ Da K Körper: $\begin{eqnarray} \forall a,b\in K: a+b\in K \end{eqnarray}$ Da K angeordnet: $\begin{eqnarray} \forall a\in K \end{eqnarray}$ gilt einer der drei Fälle: $\begin{eqnarray} a>0, a=0, a<0 \end{eqnarray}$ Da K Körper: $\begin{eqnarray} \forall a\in K \exists -a\in K :a+(-a) = 0 \end{eqnarray}$ Meine Idee war zu zeigen, dass wenn ich auf x etwas positives addiere, also wenn a<0, dann -a und wenn a>0, dann a, dass ich dann etwas größeres als x erhalten würde. Aber das funktioniert doch garnicht? Erstmal weiß ich nicht, was wäre wenn a=0 ist und zweitens kann die Verknüpfung ja auch sagen, dass x + a < x, obwohl a>0, das ist doch nur Definitionssache, oder nicht? Wie führe ich denn dann aber einen Widerspruch herbei? Bitte helft mir.
10.11.2012, 15:43	Causal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Endlicher Körper nie angeordnet Hi, also ich bin in Algebra nicht so bewandert, aber folgende Überlegung könnte dir helfen. Mit 'nem Widerspruchsbeweis müsste es klappen. Wenn $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein endlicher, angeordneter Körper ist. Dann muss ja gelten: $\begin{eqnarray} a \leq b \Rightarrow a + c \leq b + c \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} b = \max{K} \end{eqnarray}$ ist, dann müsste ja $\begin{eqnarray} b + c \not\in K \end{eqnarray}$ sein. Was ja ein Widerspruch wäre. Bin mir da nicht sicher, warte lieber noch auf jemanden, der in diesem Gebiet bewandert ist. Gruß, Causal
10.11.2012, 15:49	Gastmathematiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Endlicher Körper nie angeordnet Zeige zuerst (oder nutze es, wenn ihr das schon hattet), dass in jedem angeordnetem Körper 1>0 gilt. Damit kannst du unendllich viele verschiedene Elemente konstruieren, die größer 0 sind. Edit: Die Idee von causal funktioniert auch.
10.11.2012, 15:51	donpain	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Endlicher Körper nie angeordnet Hey! Danke erstmal für deine Mühe! Deine Idee deckt sich ja fast mit meiner. Aber genauso wie bei mir, bleiben die Probleme: 1) Was, wenn c=0? Dürfen wir c ungleich 0 einfach so annehmen? 2) Was, wenn die Definition unserer additiven Verknüpfung a+c als ein Element c definiert, sodass gilt c < max(K)?
10.11.2012, 16:03	donpain	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Endlicher Körper nie angeordnet Ja, dass in einem angeordneten Körper 1>0 gilt hatten wir. Aber inwiefern kann ich so unendlich viele verschiedene Elemente konstruieren, die größer 0 sind? Kann denn die additive Verknüpfung des Körpers nicht max(K) + 1 als < max(K) definieren, wie zB im Körper (Z3, +3, *3)? Da wäre ja 2=max(K) und 2+1=0<max(K)? Ich bin verwirrt. :/

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »