Äquivalenzklassen und-einteilung |
| 10.11.2012, 15:35 | Tleschelsch | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Äquivalenzklassen und-einteilung durch eine Äquivalenzrelation definiert ist. A) Reflexiv: Zu zeigen: Aus (a1,b1) ~ (a1,b1). (a1,b1) ~ (a1,b1) <=> a1*b1 = b1*a1. Aber hier habe ich ja im Beweis das benutzt, was gezeigt werden soll. B) Symmetrisch: (a1,b1) ~ (a2,b2) => (a2,b2) ~(a1,b1) a1*b2 = b1*a2 <=> a2*b1 = a1*b2 => (a2,b2) ~ (a1,b1) C) Transitiv (a1,b1) ~ (a2,b2) und (a2,b2) ~ (a3,b3) => (a1,b1) ~ (a3,b3) mit a1*b2 = b1*a2 und a2*b3 = b2*a3 folgt aus a2*b3 = b2*a3 => b2 = (a2*b3) / a3 aus a1*b2 = b1*a2 folgt nun a1* (a2*b3) / a3 = b1*a2 a1*a2*b3 = b1*a2*a3 a1*b3 = b1*a3 => (a1,b1) ~ (a3,b3) _ _ _ _ _ _ _ _ _ Veranschauliche nun die Äquivalenzklassen. Veranschaulichen via Gitterpunkte, so gilt: a1*b2 = b1*a2 <=> a1/b1 = a2/b2 Aber da lässt sich für mich kein Muster erkennen. Wie sieht die Klasseneinteilung aus? Sagen wir allgemein ist die Menge gegeben durch (x,y) dann ist [y], wenn y gerade ist = {k*y,y}; denn bsp: [2] = {k*2,2}.. => {(0,2),(2,2),(4,2),(6,2)...} [y], wenn y ungerade ist = {k*y, y} denn bsp; [3] = {k*3,3}.. => {(0,3),(3,3),(6,3),(9,3)...} Also ist [y] = {k*y,y} ? |
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