Komplexe Zahl

10.11.2012, 17:46

peteri

Komplexe Zahl

Meine Frage:
hi hab ma ne frage:

Aufgabe ist, dass alle z gefunden werden sollen, die dieser Gleichung genügen:
Re(1/z) = 1/2

Meine Ideen:
komme auf z = $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} + i\sqrt{ 2 \sqrt{2} - 2 } \end{eqnarray*}$

10.11.2012, 19:01

Monoid

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RE: Komplexe Zahl
Setz für z ertmal x+iy ein und mache dann aus 1/z eine kartesiche Form. Dann ists quasi gelöst.

10.11.2012, 19:19

peteri

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hab ich nicht ganz verstanden, ist miene lösung richtig? bin mir eig sicher

10.11.2012, 19:20

Math1986

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Poste doch mal den kompletten Rechenweg.

10.11.2012, 19:29

original

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RE: Komplexe Zahl

Zitat:

Original von peteri

Aufgabe ist, dass alle z gefunden werden sollen, die dieser Gleichung genügen:

Re(1/z) = 1/2

komme auf z = $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} + i\sqrt{ 2 \sqrt{2} - 2 } \end{eqnarray*}$

ist miene lösung richtig? bin mir eig sicher unglücklich

zu deiner Information:
eines ist sicher:-> deine "Lösung" ist völlig an der Fragestellung vorbei Wink

10.11.2012, 19:31

peteri

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Bilde ich mit dem z den Ausdruck 1/z und erweitere es mit dem konjugiert komplexen komme ich auf eine komplexe zahl dessen Real-Teil 1/2 ist. Warum also falsch??

10.11.2012, 19:39

Mystic

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Deine Lösung ist korrekt, aber nur eine von unendlich vielen...

10.11.2012, 19:41

peteri

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und wie kommt man auf die anderen

10.11.2012, 19:48

Mystic

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Nach meinen Recherchen liegen sie auf der in der in Polarkoordinaten durch

$\begin{eqnarray*} r=2 \cos \phi \end{eqnarray*}$

gegebenen Kurve...

10.11.2012, 19:51

peteri

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Allgemeine Lösung:

$\begin{eqnarray*} z = \sqrt{2n} + i \sqrt{ 2\sqrt{2} - 2n } \end{eqnarray*}$

n= 1,2,3....

Richtig?

10.11.2012, 20:14

original

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Richtig sieht anders aus -> wie? ->

das Problem hat dir Mystic doch schon deutlich einge"kreist" smile

und
wenn du es anders haben willst - ausgehend von der Normalformdarstellung z=x+iy :
siehe Vorgehens-Tipp von Mathemathemathe ..

Aufgabe ist, dass alle z gefunden werden sollen, die dieser Gleichung genügen:

Re(1/z) = 1/2

10.11.2012, 20:14

Mystic

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@Peteri

Ne, kann ich nicht bestätigen, außer eben für n=1...

Probiers mal mit dem Ansatz

$\begin{eqnarray*} z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \end{eqnarray*}$

Dann gilt offensichtlich

$\begin{eqnarray*} \Re(1/z)=\frac 1r \cos \varphi \end{eqnarray*}$

10.11.2012, 20:17

peteri

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und weiter?

10.11.2012, 20:29

Mystic

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Naja, Gleichsetzung mit 1/2 führt eben direkt auf die Beziehung

$\begin{eqnarray*} r=2 \cos \varphi \end{eqnarray*}$

wie oben schon angegeben... Das ist aber nichts anderes als ein Kreis in der Gaußschen Zahlenebene mit Radius 1 und Mittelpunkt im Punkt z=1...

11.11.2012, 00:33

original

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Re(1/z) = 1/2

"Das ist aber nichts anderes als ein Kreis in der Gaußschen Zahlenebene
mit Radius 1 und Mittelpunkt im Punkt z=1... "
verwirrt

genau - und das kannst du auch ohne Polarform bekommen:
Variante:
z=x+iy

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z}= \frac{1}{x+iy} \end{eqnarray*}$ erweitern mit x-iy ->

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z}= \frac{x-iy}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Re (\frac{1}{z}) = \frac{x}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

-> Aufgabenstellung: ->
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^2+y^2} =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x =x^2+y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=x^2-2x +1+y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2+y^2 =1 \end{eqnarray*}$

smile

11.11.2012, 09:41

Mystic

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Naja, die Umformung von $\begin{eqnarray*} r=2 \cos \varphi \end{eqnarray*}$ auf eine "gewohnte" Kreisdarstellung ist aber auch jetzt keine Hexerei... Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} x=r \cos \varphi = \underbrace{2 \cos^2 \varphi-1}_{\cos(2\varphi)}+1=\cos(2\varphi)+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=r \sin \varphi =2\sin \varphi \cos \varphi = \sin(2 \varphi) \end{eqnarray*}$

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