Simpler Stetigkeitsbeweis

10.11.2012, 18:26	natural	Auf diesen Beitrag antworten »
Simpler Stetigkeitsbeweis Hallo Leute zusammen, ich hab eine simple Aufgabe die ich mittels $\begin{eqnarray} \epsilon \delta \end{eqnarray}$ Beweis lösen möchte, um daran Übung zu gewinnen! Zu zeigen ist die Stetigkeit der Abbildung $\begin{eqnarray} f\colon\,\mathbb R/\left\{ 0 \right\}\to\mathbb R, x\mapsto f(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; x<0\\ 1 & \;\mbox{für}\; x>0\\ \end{cases} \end{eqnarray}$ mittels einen $\begin{eqnarray} \epsilon \delta \end{eqnarray}$ Beweis Idee: Meine Idee ist erstmal eine Fallunterscheidung: Sei a ein beliebiger Punkt, in der ich die Stetigkeit untersuche und $\begin{eqnarray} 0<\epsilon \end{eqnarray}$ beliebig. $\begin{eqnarray} x>0: \end{eqnarray}$ Dann gilt für alle x mit $\begin{eqnarray} \| x- a \| < \delta\Rightarrow \| f(x)-f(a)\| = \| f(x)-1\| = \| 1- 1 \| = 0<\epsilon<br /> \forall x>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x<0: \end{eqnarray}$ Dann gilt für alle x mit $\begin{eqnarray} \| x- a \| < \delta\Rightarrow \| f(x)-f(a)\| = \| f(x)-0\| = \| 0- 0 \| = 0<\epsilon<br /> \forall x<0 \end{eqnarray}$ Somit ist f stetig in jedem Punkt $\begin{eqnarray} a\in X \end{eqnarray}$ q.e.d Ist das so right oder habe ich ein Denkfehler? Beste Grüße natural
10.11.2012, 18:32	Gastmathematiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Simpler Stetigkeitsbeweis Nein, du gehst ja gar nicht darauf ein, was $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ sein soll.
10.11.2012, 18:37	natural	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, du meinst das mein $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ noch nicht von meinem $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ abhängt. Muss ich daszu erstmal mein a genauer festlegen oder wie mache ich das genau?
11.11.2012, 02:04	natural	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, neuer Versuch bevor dieser Thread in der Fülle der Fragen verloren geht! Wäre der Beweis richtig wenn $\begin{eqnarray} \delta:=\epsilon \end{eqnarray}$ gilt?
11.11.2012, 15:30	natural	Auf diesen Beitrag antworten »
*Push*
11.11.2012, 15:55	Monarius	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, mal ein Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray} \varepsilon = \frac 1 2 = \delta \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} a = \frac{1}{10} \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} \| a - \left(-\frac{1}{10}\right)\| = \left\| \frac{2}{10}\right\| = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} < \delta \end{eqnarray}$ Trotzdem ist $\begin{eqnarray} \| f(a) - f\left(-\frac{1}{10}\right)\| = \| 1 - 0\| = 1 > \varepsilon \end{eqnarray}$ Du kannst dir ja mal überlegen, für welche $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ man hat $\begin{eqnarray} \|f(a) - f(x)\| = 0 \end{eqnarray}$ Dann wäre auf jeden Fall $\begin{eqnarray} \|f(a) - f(x)\| < \varepsilon \end{eqnarray}$
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