Zyklische Gruppen |
| 10.11.2012, 19:04 | Mindblaster | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Zyklische Gruppen Hallo, brauch dringend eure Hilfe. Ich habe folgende Aufgabe: Berechnen Sie für alle Elemente a der Gruppe (Z/6Z;+) die zyklische Gruppe <a>. Leider habe ich überhupt kein Plan wie ich da angehen soll und ich verstehe auch nicht wirklich was und wie ich das berechnen soll. Meine Ideen: Was ich weiß, dass (Z/6Z, + ) = {1,2,3,4,5} Und wenn ich einen Erzeuger dieser Gruppe berechenen soll, dann muss dieser zur 6 teilerfremd sein, also fallen die 2 und die 3 weg, oder? Kann sein, dass das auch nicht stimmt. Wenn das so ist, dann bleiben 1,4, und 5 nur zur Auswahl. Könnt ihr mir vielleicht an einem ähnlichen Bsp. zeigen, was und wie ich diese Aufgabe löse. Weil ich hab schon das ganze Netz durchgesurft, aber so richtig verstanden habe ich es immer noch nicht und habe auch keine ähnlichen Beispiele gefunden. Wäre echt für jede Hilfe dankbar! Gruß Andrej |
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| 10.11.2012, 19:08 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Blöd, dass es falsch ist. Mir scheint, dir ist nicht klar was <a> ist. Wie habt ihr das denn definiert? |
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| 10.11.2012, 19:47 | mindblaster92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
<a> ist ein Erzeuger der Gruppe := a^k, wobei k Element der Ganzen Zahlen ist. habe eben im Internet gelesen, dass die Erzeuger die Zahlen aus der Gruppe sind, mit denen man alle Zahlen der Gruppe bilden kann. Oder? A sorry, (Z/6Z) = 0,1,2,3,4,5 . |
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| 10.11.2012, 19:54 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
<a> ist die von a erzeugte Untergruppe. Sprich die Menge alle Potenzen von a. (wobei hier die Gruppe additiv geschrieben ist nicht multiplikativ, also die menge aller Vielfachen.) Ist <a>=G so nennt man a einen Erzeuger von G. Als Bsp. <2>={0,2,4} Und nur so ein persönlicher tipp: Mehr im eigenem Skript lesen, weniger irgendwo im Internet. |
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| 10.11.2012, 20:26 | mindblaster92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, stimmt schon, dass im Internet viel Mist steht. Aber Skript ist auch für mich selten zu 100% verständlich leider. Jetzt habe ich noch eine Frage. Wie kamen bei dir für <2> die Werte {0,2,4} ? Wie bist du darauf gekommen? |
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| 10.11.2012, 21:41 | Bl00D | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine zusätzliche frage : sei n element der positiven natürlichen zahlen. Wie zeige ich, dass Z/nZ durch [k] *(n) [l]:= [k * l] eine Verknüpfung definiert ist ? Sitze schon ungelogen 4 Stunden an der Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Bitte helft mir ! 
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| 10.11.2012, 23:03 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die zusätzliche Frage sollte wohl zuerst behandelt werden um die Strukur dieser Gruppe zu verstehen. Wie habt Ihr denn Z/nZ bzw. die Addition/Multiplikation auf dieser Menge definiert? |
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| 10.11.2012, 23:14 | Bl00D | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie meinst du das ? also wir haben 2 aufgaben : die erste ist, dass wir für alle a element (Z/6Z, + ) die zyklische Gruppe von a, also <a>, berechnen müssen. die zweite aufgabe ist, dass wir zeigen müssen, dass auf Z/nZ durch [k] * [l] := [k * l] eine Verknüpfung definiert ist. Und dazu angeben sollen ob (Z/nZ, * ) eine Gruppe ist. So sitze bereits 6 Stunden an diesen beide Aufgaben und bin mir sicher, dass man sie innerhalb von 5 min. lösen kann, komme aber einfach nicht drauf wie das gehen soll
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| 10.11.2012, 23:17 | Bl00D | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zur ersten, weiß ich schonmal, dass Z/6Z = {0,1,2,3,4,5} ist. Meine Idee wäre es, die Ordnung von jedem Element zu berechnen und die Ordnung entspricht dann der Anzahl der Elemente in der zyklischen Gruppe. Jedoch weiß ich grad nicht genau, wie ich das hinschreiben soll und welche Elemente dann in der zyklischen Gruppe drin sind . |
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| 10.11.2012, 23:23 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um Aufgaben zu lösen muss man sich erstmal klar machen was die Aufgabe ist. Bei der ersten Aufgabe habe ich doch bereits gesagt was zu tun ist: <a> ist die Menge aller Vielfachen von a. Einfach mal ausrechnen, ein Bsp. habe ich schon vorgerechnet. Und bei der 2. solltest du nachschauen was gelten muss, dass die definierte Multiplikation eine Verknüpfung ist. Übrigens ist "stundenlanges Nachdenken über Dinge, nachdem man draufgekommen ist sich ob der verwendeten Zeit in den Arsch beißen wollen" eine schöne Definition des in der Mathematik gerne verwendeten Wortes trivial. |
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| 10.11.2012, 23:31 | Bl00D | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mhh mal zu der esten Aufgabe : <2> = {0,2,4} <4> = auch {0,2,4} oder ? <3> = {0,3} <0> = {0} aber wie siehts mit <1> und mit <5> aus ? weil die Ordnung von 1 und von 5 ist jeweils 6, dann müssten <1> und <5> jeweils 6 elemente haben, das wären dann {0,1,2,3,4,5} und das versteh ich wiederrum nicht, denn es sind ja keine vielfachen oder ?! |
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| 10.11.2012, 23:37 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die erzeugten untergruppen sind alle richtig.
Das alle Zahlen ein Vielfaches von 1 sind dürfte klar sein. Bei 5: was ist usw., einfach mal durchprobieren. |
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| 10.11.2012, 23:48 | Bl00D | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, das ist mir der 1 ist jz klar. aber, das mit der 5 will ich einfach nicht verstehen ^^. kannst du es mir bitte bitte !!! ausführlich erklären ? biiiitteeeee !!! ich blicke nur das 0 und die 5 ein vielfaches von 5 sind, warum aber die 1,2,3 und die 4 ? und was meinst du mit 2.5 ??? |
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| 10.11.2012, 23:49 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da steht nicht 2.5 sondern in Worten "2 mal 5" . Die Notation mit * verabscheuungswürdige ich. |
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| 10.11.2012, 23:53 | Bl00D | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm und wie soll mich 2 mal 5 weiterbringen ? 
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| 10.11.2012, 23:56 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Könntest du das bitte einfach mal versuchen auszurechnen? 
Verstehst du nicht wie es geht? Dann sags. |
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| 11.11.2012, 00:00 | Bl00D | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, ich versteh nicht wies geht ... <5> ist ja { ... -10,-5,0,5,5,10, ...} wocher kommen denn 1,2,3,4 ... |
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| 11.11.2012, 00:06 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein.Einfach nein. zum Einen meinst du vermutlich [5] statt <5>. Zum anderen gilt für die Äquivalenzklasse von 5 modulo 6: [5]={..., -7,-1,5,11,17,...} Wo kommst du denn z.B. auf <4>= {0,2,4} ? |
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| 11.11.2012, 00:14 | Bl00D | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
war ehrlich gesagt geraten ... ich hab die ordnung ausgerechnet also : bei der 2 bin ich wiefolgt vorgegangen : 6 = 2 + 2 + 2 = 3 * 2 => ordnung von 2 ist 3 also hat <2> 3 elemente bei der 4 genau so : 12 = 4 + 4 + 4 = 3 * 4 => ordnung von 4 ist 3 also hat <4> 3 elemente bei der 5 : 30 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 6 * 5 => ordnung von 5 ist 6 also hat <5> 6 elemente mir fehlt einfach die strucktur, also die vorgehensweise, wie ich dazu komme welche elemente in der zyklischen gruppe drin sind komme :: |
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| 11.11.2012, 00:19 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du solltest dir dringend die Addition auf Z/nZ nochmal anschauen und Beispiele durchrechnen. Ich gehe jetzt jedenfalls schlafen. Und nächstes Mal bitte auf den Helfer und seine Fragen eingehen statt zu blocken. So weit wie jetzt waren wir hier schon vor ein paar Posts.
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| 11.11.2012, 00:36 | Bl00D | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kacke, kann denn jemand von ganz vorne mal erklären wie man vorgeht -.- ? und nicht in rätseln sprechen ... |
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