Differentialquotienten - herleiten

10.11.2012, 19:04

Tipso

Differentialquotienten - herleiten

Hallo,

Angabe:

f : y = x^3, x_0 = 2

Leiten sie f'(x_0) her.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x = \frac{f\left(x_0 + x{delta}\right) - f\left(x_0\right) }{x_{delta}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x = \frac{\left(x_0 + x{delta}\right)^3 - \left(x_0\right)^3 }{x_{delta}} <br /> \end{eqnarray*}$

wie gehts nun weiter?

lg

10.11.2012, 21:41

mYthos

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Schon wieder schreibst du "xdelta" anstatt delta x", das wurde dir doch schon gesagt, oder nicht?
Weiter wie üblich: Auspotenzieren, reduzieren, kürzen und dann den Grenzwert berechnen.
In deinem anderen Thread warst du besser!

mY+

11.11.2012, 13:49

Tipso

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RE: Differentialquotienten - herleiten
Hi,

Habe es verbessert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x = \frac{f\left(x_0 + \Delta x\right) - f\left(x_0\right) }{\Delta x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x = \frac{\left(x_0 + \Delta x\right)^3 - \left(x_0\right)^3 }{\Delta x} <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x = \frac{x_0^3 + 3x_0^2\Delta x + 3x_0\Delta x^2 + \Delta x^3 - x_0^3}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x = \frac{3x_0^2\Delta x + 3x_0\Delta x^2 + \Delta x^3 }{\Delta x} \end{eqnarray*}$

Jetzt hebe ich aus? Faktorisiere ich?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x = \frac{\Delta x\left(3x_0^2 + 3x_0\Delta x + \Delta x^2\right) }{\Delta x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x = 3x_0^2 + 3x_0\Delta x + \Delta x^2 \end{eqnarray*}$

Das ist nun meine Ableitung?

Hier setze ich x_0 ein und erhalte die Steigung bei dem Punkt x_0?

11.11.2012, 13:50

Tipso

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Wie berechne ich den Grenzwert?

Wie setze ich nun mein x_0 = 2 ein? Was ist dies?
Was sagt mir das Ergebnis?

lg

11.11.2012, 14:09

mYthos

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Leider schreibst du nach wie vor $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} \Delta x \to 0 \end{eqnarray*}$ . Zwischen den beiden besteht ein großer Unterschied!

Einsetzen für x0 kommt erst später! Zuerst wird die allgemeine Ableitungsfunktion für x0 berechnet und das geschieht eben, wenn du $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ gegen Null gehen lässt.
Das, was dann herauskommt, ist die erste Ableitung für jede beliebige Stelle x0 der Funktion. Das nennt man auch Ableitungsfunktion und in dieser kann man dann x0 durch x ersetzen, um die allgemeine Schreibweise zu betonen.

Somit gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 \ \to \ f \ ' (x) = 3x^2 \ \to \ f \ ' (2) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12 \end{eqnarray*}$

Das letzte Ergebnis in Zahlen sagt aus, dass die Steigung der Tangente in dem Punkt der Kurve mit dem x-Wert 2 dort den Wert 12 hat.
Allgemein, dass in jedem Punkt der Kurve allgemein mit dem x-Wert x die Steigung der Tangete dort $\begin{eqnarray*} 3x^2 \end{eqnarray*}$ beträgt.

mY+

11.11.2012, 14:43

Tipso

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Hallo,

Ich werde darauf achten auch unter den Limes $\begin{eqnarray*} \Delta x \to 0 \end{eqnarray*}$ zu schreiben.

Zitat:

Original von mYthos
Leider schreibst du nach wie vor $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} \Delta x \to 0 \end{eqnarray*}$ . Zwischen den beiden besteht ein großer Unterschied!

Wo ist hier der genaue Unterschied?
Was wäre den x? x = gesuchte Variabel?
Hingegen $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ ein gewisser Bereich oder Funktion.

Last:

Bitte einpaar Worte noch warum alles was mit $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ zu tun hat gegen Null geht.

lg

11.11.2012, 14:44

Tipso

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RE: Differentialquotienten - herleiten

Zitat:

Original von Tipso
Hallo,

Angabe:

f : y = x^3, x_0 = 2

Dieses x_0 = 2 hat dabei nichts mit dem x_0 von der Gleichung zu tun?

lg

11.11.2012, 17:42

mYthos

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Selbstverständlich ist dieses x0 mit jenem bei der Grenzwertentwicklung identisch.
Wir haben es zum Schluß lediglich durch das allgemeine x ersetzt, weil das Ergebnis für jedes beliebige x0 gilt. Du wirst auch in den Differentiationsformeln die Ergebnisse nie in x0 sehen, sondern sie sind alle in x ausgedrückt.

$\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ ist nicht ein x-Wert so wie x0 oder x, sondern immer eine Differenz zweier x-Werte, die nebeneinander liegen und während des Grenzüberganges immer näher zueinander rücken, bis schließlich das $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ so winzig (infinitesimal) klein wird, dass am Ende zu Null wird.

mY+

11.11.2012, 17:53

Tipso

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Einfach nur Top.

Danke.

11.11.2012, 19:26

Tipso

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Ich habe eine Frage zu dem gleichen Thema.

Wenn ich nun die Funktion y = x^3 - 1 habe.

Habe ich einen Sattelpunkt.

Mein Grenzwert ist: 3x_0

Siehe nun die Berechnung der Tangenten, welche ich nicht verstehe:

P(0,-1)

Also x= 0, -1= y

k = 0

-1 = 0 * 0 + d

d = -1

T_1 = y = -1

-----------------------------------

P(1, 0)

k = 3

0 = 3 * 1 = d

d = 3

T_2 = y = 3x - 3

Aber wenn ich den Grafen anschaue, stimmt dies nicht überein mit den Werten.

Die Tangente geht durch, P_1(1/1) und P_2(-1/-1)

lg

11.11.2012, 20:43

mYthos

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Zitat:

Original von Tipso
...
Wenn ich nun die Funktion y = x^3 - 1 habe.
...
Mein Grenzwert ist: 3x_0
...

Das ist bereits ein Fehler, denn der Grenzwert lautet anders.
Wie, das wirst du ja nachrechnen können, du hast ja schon etwas Übung .. Big Laugh

______________

Die Tangenten scheinen dennoch richtig, T_1 ist eine Wendetangente, allerdings ist bei T_2 d = - 3

mY+

11.11.2012, 21:03

Tipso

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Zitat:

Original von mYthos

Zitat:

Original von Tipso
...
Wenn ich nun die Funktion y = x^3 - 1 habe.
...
Mein Grenzwert ist: 3x_0
...

Das ist bereits ein Fehler, denn der Grenzwert lautet anders.
Wie, das wirst du ja nachrechnen können, du hast ja schon etwas Übung .. Big Laugh

______________

Blöder Fehler von mir, tut mir leid.

3x_0^2

smile

Danke nochmal.

11.11.2012, 21:35

mYthos

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Zitat:

Original von Tipso
...
P(1, 0)

k = 3

0 = 3 * 1 = d

d = 3
...

Falsch, denn es ist 0 = 3*1 + d, somit ist d = - 3

Du musst noch viel üben. Die Fehler sind in einem Bereich der Unterstufe, über den du schon längst erhaben sein solltest.

11.11.2012, 21:48

Tipso

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Verstehe, Danke für den Tipp.

lg

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