Lineare Unabhängigkeit

10.11.2012, 22:51

tigre

Lineare Unabhängigkeit

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \text{Sind } A\vec{v_{1}} \text{ und } A\vec{v_{2}} \text{ linear unabhängig, so sind auch } \vec{v_{1}} \text{ und } \vec{v_{2}} \text{ linear unabhängig.} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Nabend,

ich beiß mir gerade an der Aufgabe die Zähne aus. Es gab quasi 3 ähnliche Aufgaben, die ich bereits gelöst hab, aber hier fehlt mir jeglicher Lösungsweg.
Habt ihr da eine Idee, wie man das Belegen kann? (Meine Vermutung ist, dass die Aussage stimmt).

11.11.2012, 00:20

Helferlein

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Das ist ziemlich einfach zu lösen, indem Du mit der üblichen Gleichung startest und dann versuchst, das A ins Spiel zu bringen.

11.11.2012, 11:37

tigre

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Guten Morgen.

Kannst du deine Antwort bitte ein bisschen ausführen? Was ist die "übliche Gleichung"? Ich habe vorher eine ähnliche Fragestellung gelöst:

Sind $\begin{eqnarray*} \vec{v_{1}} \vec{v_{2}} \end{eqnarray*}$ linear abhängig, so sind auch $\begin{eqnarray*} A\vec{v_{1}} \vec{v_{1}} \end{eqnarray*}$ linear abhängig.

Dazu habe ich $\begin{eqnarray*} \vec{v_{2}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \alpha\vec{v_{1}} \end{eqnarray*}$ gewählt und dann gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} A\vec{v_{2}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} A\alpha\vec{v_{1}} \end{eqnarray*}$ ist.
Nur wie gehe ich bei der unabhängikeit vor? Hier kann ich die beiden ja nicht einfach als abhängigkeit voneinander ausdrücken.

11.11.2012, 14:55

Helferlein

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Zitat:

Original von tigre
Sind $\begin{eqnarray*} \vec{v_{1}} \vec{v_{2}} \end{eqnarray*}$ linear abhängig, so sind auch $\begin{eqnarray*} A\vec{v_{1}} \vec{v_{1}} \end{eqnarray*}$ linear abhängig.

Was willst Du dann noch beweisen? Das ist doch äquivalent zu der Aussage, die Du zeigen sollst.

11.11.2012, 14:57

tigre

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Ich verstehe nicht, warum diese beiden Aussagen äquivalent sind. Kannst du das bitte weiter ausführen?

11.11.2012, 15:08

Helferlein

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Kontraposition: $\begin{eqnarray*} (A \Rightarrow B ) \Leftrightarrow (\neg~B \Rightarrow \neg A) \end{eqnarray*}$

Edit: moment, hab deine Gleichung anscheinend nicht ganz richtig gelesen, sorry. Ich war von $\begin{eqnarray*} Av_1, Av_2 \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite ausgegangen.

Also zurück zu meinem ersten Ansatz:
Linear Unabhängigkeit von Vektoren ist doch so definiert, dass der Nullvektor nur trivial kombiniert werden kann. Formal:

$\begin{eqnarray*} rv_1+sv_2=0 \Rightarrow r=s=0 \end{eqnarray*}$

11.11.2012, 20:29

tigre

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Das heißt, die beiden Aussagen sind doch nicht äquivalent? Also

sind v1 und v2 linear abhängig, so sind auch Avi und Av2 linear abhängig
sind Av1 und Av2 linear unabhängig, so sind auch v1 und v2 linear unabhängig

11.11.2012, 23:03

Helferlein

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Richtig, die Aussagen sind äquivalent.
Genauso wie "Wenn es regnet, ist es nass" und "Wenn es trocken ist, kann es nicht regnen"

Oben hattest Du aber von einer anderen Aussage gesprochen. (Nämlich $\begin{eqnarray*} Av_1v_1 \end{eqnarray*}$ , was streng genommen nicht einmal definiert ist. Ich hatte es aber mal wohlwollend als Menge von zwei Vektoren aufgefasst)

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