Umgang mit unendlicher Gruppe

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Evolina Auf diesen Beitrag antworten »
Umgang mit unendlicher Gruppe
Meine Frage:
Guten Morgen,
ich habe ein Problem in meiner aktuellen Matheübung und leider bislang noch nichts in Literatur oder Netz gefunden, was mir weitergeholfen hat.
Die Aufgabe sieht folgendermaßen aus:
Gegeben sei eine endliche Gruppe (G,*) mit neutralem Element e und ein Element gElementG. Für ein nElementN bezeichnen wir mit g^n das Element g*g*...*g. (n-mal)

Zeigen Sie, dass dann die Menge {g^n/nElementN) eine Untergruppe von G ist!
Zeigen Sie, dass das für eine unendliche Menge nicht gilt!

Meine Ideen:
Also den ersten Teil der Aufgabe habe ich bereits gelöst, das war nicht das Problem. Mir ist aber einfach nicht klar, wieso das jetzt für eine unendliche Menge nicht gelten soll, weil n ja im Grunde schon beliebig groß sein kann.
Wäre schön, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, an welcher Stelle ich hier ansetzen kann...

Danke schonmal smile
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du den ersten Teil wirklich sorgfältig gelöst hast, dann weißt du, warum das im Fall, dass G unendliche Gruppe ist, nicht klappt.

Daher solltest du mal deine Lösung hier vorstellen.
Evolina Auf diesen Beitrag antworten »

Z.z.: {g^n/nElementN} ist Untergruppe von G.
Für G gilt: e*g=g, also e=1
Um (UG1) zu erfüllen, muss eElementH. Also:
g^n*e=g^n.
e=1=g^0 -> g^0Element{g^n/nElementN}, also ist e Element H.
Weiter muss gelten:
(UG2) Für alle h1,h2ElementH ist auch h1*h2ElementH.
h1:=g^n, h2:=g^m; g^n,g^mElementH
h1*h2=g^n*g^m=g*...*g (n-mal)*g*...*g (m-mal)=g^(n+m)
da n,mElementN ist auch (n+m)ElementN. Also gilt g^(n+m)ElementH, (UG2) ist erfüllt.
Als letztes muss gelten:
(UG3) Für alle hElementH ist auch h^-1ElementH.
Das inverse Element zu g^n ist g^-n:
g^n*g^-n=g*...*g (n-mal)*1/g*...*1/g (n-mal)
denn g^-n=1/g^n=(1/g)^n, -nElementN -> g^-nElementH
=g*1/g*...*g*1/g=g/g*...*g/g (n-mal)=1*...*1=1=e
Da g^-nElementH ist (UG3) erfüllt.
Da also (UG1)-(UG3) erfüllt sind, ist {g^n/nElementN} eine Untergruppe von G!

Soweit mein Beweis smile
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Evolina
Das inverse Element zu g^n ist g^-n:


liegt nach der Definition aber erstmal gar nicht in deiner potentiellen Untergruppe....
Evolina Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Mist, das stimmt natürlich! Aber würde das nicht bedeuten, dass es keine Inversen gibt, die auch in der Teilmenge liegen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, bei endlichen Gruppen eben schon.
 
 
Evolina Auf diesen Beitrag antworten »

Hä? Aber g^-n geht ja eben nicht, wenn ich mir für n=5 setze, müsste mein Inverses doch -5 sein und das liegt nicht in N... Jetzt steh ich vollends auf dem Schlauch... -_-
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Bei endlichen Gruppen gibt es doch stets ein mit . Das ist der Schlüssel.
Evolina Auf diesen Beitrag antworten »

ja schon, aber dieses m liegt ja offenbar nicht innerhalb der Untergruppe, weil ich hier keine negativen zahlen einsetzen darf und dann ergibt das für mich keinen sinn...
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
dann überleg mal, wenn , dann gilt , und
daraus folgt , und analog ist dann
usw., also existieren die inversen...
gruss ollie3.
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