Kernbildung

11.11.2012, 12:55

Anne929

Beweis der linearen Abbildung R3--->R2 /Kernbildung

Meine Frage:
Hallo.
Die Aufgabe lautet:

Welche der folgenden Abbildungen a: R3----R2 sind lineare Abbildungen.

a(x,y,z) = (2x+y,z) für (x,y,z) ? R3

Fragen:

1. Kann man für a ein f schreiben? a ist doch wie f für Funktion oder?

2. Ich versteh die Schreibweise nicht. 2x+y KOMMA z ?? Wie sieht das aus, wenn man es als Matrix schreibt?

3. Wie überprüfe ich nun ob es lineare Abbildung ist?

4. Was versteht man unter R3 und R2 ?

5. Wie berechnet man den Kern?

Schon mal danke für alle Antworten!

Meine Ideen:
Ich bin so ideenlos bei dem Thema. unglücklich

11.11.2012, 14:14

1nstinct

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RE: Beweis der linearen Abbildung R3--->R2 /Kernbildung
Hallo,

Zu 1): Ja, kannst du.

Zum Rest:

Du solltest dir klarmachen, was Abbildungen überhaupt sind.

Zum Anfang wird ein Definitions-und Wertebereich festgelegt.
In deinem Fall: Def-Bereich: $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , Wertebereich: $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .

Dann wird eine Abbildungsvorschrift angegeben (du kennst das sicher als f(x)=...)
Hier: $\begin{eqnarray*} a(x,y,z)=(2x+y,z) \end{eqnarray*}$

zu 3). Prüfe, ob $\begin{eqnarray*} a(x_1,y_1,z_1)+a(x_2,y_2,z_2)=a(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2) \end{eqnarray*}$

und ob für $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda \cdot a(x,y,z) \end{eqnarray*}$

MfG

11.11.2012, 14:35

Anne929

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Hey, danke für die Antwort.

Wie schreibt man denn 2x+y,z als matrix? Ich verstehe diese Schreibweise nicht. Wir schrieben es immer als VektorenZ/Matritzen aber nicht so nacheinander und mit kommas unterteilt.

Und wie kommst Du auf
.... = a (x1+x2, y1+y2, z1+z2)

Wieso ist das nicht x1+x2 *PLUS y1+y2, z1+z2) ??

Und wo bleibt die 2 ? es ist ja 2x+y,z

danke!

11.11.2012, 20:29

1nstinct

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Hallo,

Deine Abbildung geht doch von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} (2x+y,z)\in \mathbb R^2=\mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und wie kommst Du auf.... = a (x1+x2, y1+y2, z1+z2)

Du sollt überprüfen, ob

$\begin{eqnarray*} a(x_1,y_1,z_1)+a(x_2,y_2,z_2)=a(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2) \end{eqnarray*}$ gilt. Das ist ein Teil der Definition der linearen Abbildung...

Ich denke, du solltest dir wirklich klarmachen, was eine (lineare) Abbidlung ist.

MfG

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