Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen

11.11.2012, 13:53	Cattivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen Moin, ich hänge gerade einmal mehr an einer Matheaufgabe, Thema ist aktuell die Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen, wie dem Titel auch zu entnehmen ist. Aufgabe ist es zurzeit die Anzahl der gemeinsamen Punkte von einer Ebene und einer Gerade zu bestimmen. Wir haben in Unterricht bereits eine Beispielaufgabe gelöst, allerdings komme ich derzeit trotzdem nicht so richtig weiter. Hier mal meine Ansätze: $\begin{eqnarray} E:x = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g:x = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7-a \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ a \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow <br /> I<br /> r+3s-2t = -1 <br /> II<br /> -2s-at = 2<br /> III <br /> 5r+ s-3t = 8-a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> aus II: <br /> -2s = 2+at <br /> -s = 1+\frac{at}{2} \end{eqnarray}$ Beim nächsten Schritt bin ich mir nicht so recht sicher, wo ich s einsetze, in I oder III und wie genau ich dann am besten weiterarbeite. $\begin{eqnarray} in III einsetzen \Rightarrow <br /> <br /> 5r-1+\frac{at}{2}-6t = 8-a <br /> 5r-1+t(\frac{at}{2}-3) = 8-a <br /> 5r +t(\frac{at}{2}-3) = 7-a <br /> <br /> in I einsetzen \Rightarrow <br /> <br /> r-3(1+\frac{at}{2})-2t = -1 <br /> r-3+\frac{3at}{2}-2t = -1 <br /> r-3+t(\frac{3at}{2}-2) = -1 \end{eqnarray}$ Ziel sollte es ja sein t zu berechnen und dies darüber, erstmal s und r zu bestimmen. Vielleicht kann mal jemand drüber gucken, ob soweit alles passt und wie ich nun weitermachen sollte. Freue mich über jede Hilfe. Beste Grüße
11.11.2012, 14:23	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus zwei Gleichungen in r und t ist nun r zu eliminieren (a wird als Konstante behandelt). --> Methode der gleichen Koeffizienten (für r) ________________ Allerdings ist dir gleich zu Beginn ein Rechenfehler unterlaufen, in der ersten Zeile muss es heißen: r + 3s - 3t = -1 mY+
11.11.2012, 14:43	Cattivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass heißt genau..? :s Liege ich mit meinen Ansätzen in III bzw. in I einsetzen denn soweit auf Kurs, weil dort hätte ich ja immer noch zwei Variablen r und t. Der Rechenfehler ist eher ein Tippfehler bei der Geraden, 2 statt 3, dann passt das auch mit den 2t.
11.11.2012, 17:27	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung II beinhaltet ja bereits kein r, also wird aus Gleichung I und III das r eliminiert, um eine zweite Gleichung in s und t zu erzeugen. Somit ergibt sich das vereinfachte System -2s - at = 2 14s - 7t = -13 + a -------------------------- Nun ist beispielsweise s zu eliminieren ... Anmerkung: Es kommt zu einer Fallunterscheidung für a (ein Faktor in a kann entweder Null oder ungleich Null sein). Davon hängt die Anzahl der Lösungen des lGS ab. mY+
19.01.2013, 11:34	Fragensteller04	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich sitzte gerade an der gleichen Aufgabe. Für den ersten Fall bekomme ich für a=-1 heraus. Doch wie komme ich auf den 2. A-Wert? Das habe ich noch nciht so ganz verstanden.
20.01.2013, 11:43	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Was passiert nun für den Fall a = -1? In allen anderen Fällen ist für a kein fester Wert mehr vorgegeben. a kann also alle Werte ausser a = -1 annehmen, einen diskreten zweiten Wert für a muss man also nicht annehmen. Was geschieht dann? mY+
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