vollständige Induktion Summe

11.11.2012, 14:03

Frohnatur

vollständige Induktion Summe

Meine Frage:
Hi!
Hier eine Vollständige Induktion bei der ich am I.Schritt festsitze:

Meine Ideen:
n=1,2,3,...

$\begin{eqnarray*} I. SATZ: \sum\limits_{k=0}^n 2^{n}*3^{k} = 2^{n-1}*(3^{n+1}-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I. Anf.: \end{eqnarray*}$ für n=1 ergibt: $\begin{eqnarray*} 8=8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I. Beh.: \sum\limits_{k=0}^{n+1} 2^{n+1}*3^{k} = 2^{n}*(3^{n+2}-1)= 2^{n}*3^{n}*9-2^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I. Schritt: \sum\limits_{k=0}^{n+1} 2^{n+1}*3^{k} = \sum\limits_{k=0}^n 2^{n}*3^{k} + 2^{n+1}*3^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} 2^{n+1}*3^{k}= 2^{n-1}*(3^{n+1}-1) + 2^{n+1}*3^{n+1} \end{eqnarray*}$

erbitte mal um Antwort ob es soweit korrekt ist!?
Nun müsste es doch nur mehr eine Sache von Umformungen sein jedoch bin ich nach reichlicher Bemühung nicht zum Ergebnis gekommen :/

11.11.2012, 14:06

Monoid

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RE: vollständige Induktion Summe
Wie kommst den du beim I.a. auf 8=8?

11.11.2012, 14:26

Monoid

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RE: vollständige Induktion Summe
Bist du nicht Moby?

Zur fRage:

Den I,S. kannst du gar nicht richitg hinbekommen. Denn, die Aussage ist falsch. Teste mal n=1. smile

11.11.2012, 14:30

Bronco Bamma

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RE: vollständige Induktion Summe
@Mathemathemathe: Bitte genau hinschauen bevor Du Dich derartig äußerst, denn die Behauptung stimmt natürlich und ist eine unmittelbare Konsequenz der geometrischen Summenformel!

11.11.2012, 14:39

Monoid

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RE: vollständige Induktion Summe
Aberr wenn du doch 1 einsetzt, was erhälst du dann? Ich erhalte 2=8.

Viellecht stehen bei uns ja verschiedene sachen? verwirrt

bei mir steht $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n2^{n} \cdot 3^{k}=2^{n-1} ( 3^{n+1}-1) \end{eqnarray*}$
Wenn ich einsetze erhalte ich ganz ausführlich $\begin{eqnarray*} 2 \cdot 1=1 \cdot (9-1)=8 \end{eqnarray*}$

11.11.2012, 14:45

Che Netzer

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RE: vollständige Induktion Summe
Links geht die Summe aber bis Eins, nicht nur bis Null.

Und kann es sein, dass sich dein Geburtstag laut Profil vor kurzem um sechs Tage verschoben hat? verwirrt

11.11.2012, 16:03

Moby

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Frohnatur = Moby... sorry für die Verwirrung, hatte mich vertan.

Also... Beim I.Anf. geht k von 0 bis 1 somit muss der fall "0" und der fall "1" zusammgerechnet werden= 8
Danke für die Bestätigung soweit smile

Habe nun einen Lösungsvorschlag erhalten aber der erschließt sich mir nicht ganz.
Zwei Dinge:

1. Ist mein I.Schritt prinzipiell richtig oder nicht? Käme man damit auch zur Lösung ohne unverhältnismäßig viel Rechnerei?

2. Der Lösungsvorschlag besagt folgendes:

$\begin{eqnarray*} I.Schritt: \sum\limits_{k=0}^{n+1} 2^{n+1}*3^{k}=\sum\limits_{k=0}^n 2^{n+1} 3^{k} + 2^{n+1} 3^{n+1} \end{eqnarray*}$ (wieso wird hier $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n 2^{n+1} 3^{k} \end{eqnarray*}$ bei 2^ (n+1) verwendet obwohl der index k=0 bis n geht!?????!!)

$\begin{eqnarray*} I.Schritt: \sum\limits_{k=0}^{n+1} 2^{n+1}*3^{k}=\sum\limits_{k=0}^n 2^{n}*2 *3^{k} + 2^{n+1} 3^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I.Schritt: \sum\limits_{k=0}^{n+1} 2^{n+1}*3^{k}=2*\sum\limits_{k=0}^n 2^{n} 3^{k} + 2^{n+1} 3^{n+1} \end{eqnarray*}$ (Umgeformt und *2 vor die Summe geschoben)

$\begin{eqnarray*} I.Schritt: \sum\limits_{k=0}^{n+1} 2^{n+1}*3^{k}=2*2^{n-1} (3^{n+1}-1) + 2^{n+1} 3^{n+1} \end{eqnarray*}$ (Summation durch andere Schreibweise ersetzt)

nun lässt sich laut der mir gezeigten Lösung sehr schön die I.Behauptung bestätigen und somit die Induktion lösen. Alles verständlich bis auf den 1. Schritt.
Bitte um Aufklärung Freude

12.11.2012, 20:18

Moby

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push!

So schwierig ist das doch nicht. Wenn mir einer von euch

wieso wird hier $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n 2^{n+1} 3^{k} \end{eqnarray*}$ bei 2^ (n+1) verwendet obwohl der index k=0 bis n geht!?????!!

verständlich machen kann wäre das Beispiel geklärt...

12.11.2012, 21:19

Che Netzer

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Der letzte Summand mit Index $\begin{eqnarray*} k=n+1 \end{eqnarray*}$ wurde dabei schon abgetrennt.

13.11.2012, 00:55

Moby

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sorry, versteh ich nicht. Wenn du das noch weiter ausführen könntest, wäre toll!
Weils sich wirklich nur mehr auf diese Frage zuspitzt nochmal ganz konkret...

Wieso:

$\begin{eqnarray*} I.Schritt: \sum\limits_{k=0}^{n+1} 2^{n+1}*3^{k}=\sum\limits_{k=0}^n 2^{n+1}3^{k} + 2^{n+1} 3^{n+1} \end{eqnarray*}$

und nicht:

$\begin{eqnarray*} I.Schritt: \sum\limits_{k=0}^{n+1} 2^{n+1}*3^{k}=\sum\limits_{k=0}^n 2^{n}3^{k} + 2^{n+1} 3^{n+1} \end{eqnarray*}$

???

13.11.2012, 01:45

RavenOnJ

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wieso schleppst du eigentlich die ganze Zeit das $\begin{align*} 2^n \end{align*}$ unter der Summe mit, das kann man doch davor ziehen. Dann bleibt nur
$\begin{eqnarray*} 2^n\sum_{k=0}^n 3^k = 2^n\frac{3^{n+1}-1}{3-1} \end{eqnarray*}$ , woraus dann deine Behauptung folgt. Oder sollst du unbedingt die vollständige Induktion benutzen?

Gruß
Peter

13.11.2012, 10:40

Moby

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ja, muss lt Angabe mit vollständiger Induktion erfolgen...

13.11.2012, 11:05

Mulder

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Zitat:

Original von Moby
$\begin{eqnarray*} I.Schritt: \sum\limits_{k=0}^{n+1} 2^{n+1}*3^{k}= ... \end{eqnarray*}$

So, in diesem Moment ist das $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ fest geschrieben, das ist eine feste Zahl.

Im nächsten Schritt wird dann der (n+1)te Summand abgespalten, darum wird aus der oberen Summationsgrenze jetzt ein n. Aber das hat doch keinen Einfluss auf das $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ . Wenn du das verringerst, änderst du doch diesen konstanten (!) Faktor einfach um und damit den gesamten Wert der Summe. Du teilst einfach die ganze Summe durch 2, das ist doch völlig ohne Sinn.

Wie RavenOnJ ja schon angedeutet hat, kannst du das $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ ja auch vor die Summe ziehen. Das 2^(n+1) ist eine feste Zahl, die nicht verändert wird. Jeder Summand wird mit diesen 2^(n+1) multipliziert.

Vielleicht machst du dir das mal an einem Beispiel klar. Setz doch mal konkret n=2 ein (das n+1 wird dann logischerweise 3) und guck dir die Summe mal an. Dann siehst du bestimmt sehr schnell, was bei deiner Variante schief läuft. Du hast dann in der Summe den Faktor 2^3=8 drin, den du im nächsten Schritt einfach auf 4 umänderst, aber warum sollt man das dürfen?

Richtig (für das 2^3 schreib ich jetzt überall schon 8):

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^3 8 \cdot 3^k = \left ( \sum_{k=0}^2 8 \cdot 3^k \right ) + 8 \cdot 3^3 \end{eqnarray*}$

Offenbar falsch (deine Variante):

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^3 8 \cdot 3^k = \left ( \sum_{k=0}^2 \color{red} 4 \color{black} \cdot 3^k \right ) + 8\cdot 3^3 \end{eqnarray*}$

13.11.2012, 11:33

Moby

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aaaahhh! JETZT VERSTEHE ICH!

2^(n+1) habe ich einfach nicht als feste Zahl realisiert... okaaaay, jetzt erschließt sich mir was da wirklich passiert!

Vielen Dank an alle die geholfen haben und
vielen vielen Dank Mulder für deine überaus veständliche ausführliche Antwort! Freude

Moby

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