Binomialverteilung

11.11.2012, 14:29	vaan1267	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialverteilung Hallo ich habe hier eine aufgabe bei der ich nicht weiterkomme... In deutschland ist die blutgruppe a am häufigsten. etwa 44 % der bevölkerung haben sie c) wie viele menschen muss man auswählen, um mit einer wahrscheinlichkeit von 90% mehr als zwanzig mit blutgruppe a zu erhalten? wie viele muss man auswählen damit die wahrscheinlichkeit mehr als zwanzig zu erhalten mindestens 90 % beträgt. also mein ansatz ist zum ersten teil ist: x~(n;0,44) P(x>20)=1-P(X<=20) 1-P(X<=20) <= 0,9 P(X<=20) >= 0.1 (n über 20) * 0.44^20 *0.56^n-20 >= 0.1 ist das so richtig?? wie rechnet man sowas aus? vielen dank im voraus PS: ich habe einen geeignet taschenrechner zur verfügung ;D
12.11.2012, 08:30	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, der Beitrag ist nur für dich nur interessant, wenn du die Normalverteilung schon kennst. Ansonsten ignorieren. ich gehe mal von folgender Fragestellung aus: Wie viele menschen muss man mindestens auswählen, um mit einer wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mehr als zwanzig Menschen mit blutgruppe a zu erhalten? Zumindest habe ich sie mal so umformuliert. Man kann ja mehr auswählen, dann wird die Wahrscheinlichkeit größer, dass mehr als 20 Menschen die Blutgruppe A haben. Dass man bei einer diskreten Verteilung die 90% genau trifft ist eher unwahrscheinlich. $\begin{eqnarray} P(x > 20) = P (x \geq 21) = 1-P(x < 21)=1-P(x \leq 20) \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} P(x>20) \geq 0,9 \end{eqnarray}$ sein soll kann man schreiben: $\begin{eqnarray} 1-P(x \leq 20) \geq 0,9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow -P(x \leq 20) \geq -0,1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow P(x \leq 20) \leq 0,1 \end{eqnarray}$ Jetzt in die Verteilungsfunktion der Binomialvertelung einsetzen: $\begin{eqnarray} P(X \leq x)=\sum_{k=0}^x \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k \cdot (1-p)^{n-k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X \leq 20)=\sum_{k=0}^{20} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 0,44^{k} \cdot (0,56)^{n-k} \leq 0,1 \end{eqnarray}$ Wie du das mit deinem Taschenrechner ausrechnen willst, ist mir schleierhaft. Deswegen muss man eine Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung vornehmen. $\begin{eqnarray} P(X \leq 20) = \phi \Bigg( \frac{x+0.5-n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}} \Bigg) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X \leq 20) = \phi \Bigg( \frac{20+0.5-n \cdot 0,44}{\sqrt{n \cdot 0,44 \cdot (0,56)}} \Bigg) \leq 0,1 \end{eqnarray}$ Jetzt die Umkehrfunktion der Normalverteilung nehmen. $\begin{eqnarray} \frac{20+0.5-n \cdot 0,44}{\sqrt{n \cdot 0,44 \cdot (0,56)}} \leq \phi^{-1}(0,1) \end{eqnarray}$ Den Wert der rechten Seite kann man in der Tabelle nachschauen. Ansonsten läuft es dann auf eine quadratische Gleichung hinaus. Mit freundlichen Grüßen.

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