Ordnung einer Gruppe Potenz von 2

11.11.2012, 14:54	Bobby197	Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnung einer Gruppe Potenz von 2 Ich habe in meinen Unterlagen eine Aufgabe gefunden, welche ich mal vor einem Jahr gelöst habe. Leider ist mir die letzte entscheidende Aussage nicht ganz klar. Die Lösung müsste aber eigentlich richtig sein. Es sei G eine endliche Gruppe, deren Elemente sämtlich eine Ordnung ≤ 2 haben. Zeigen Sie: Die Ordnung von G ist eine Potenz von 2. Hier zeige ich euch mal meine Lösung: Es sei $\begin{eqnarray} \left\{ g_{1}, ..., g_{m}\right\} \end{eqnarray}$ ein minimales Erzeugendensystem von G. Jedes Element $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ hat die Form: $\begin{eqnarray} g=g^{v_{1}} _{1} ... g^{v_{m}} _{m} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} v_{1}...v_{m} \in \left\{ 0,1\right\} \end{eqnarray}$ Nehme an, dass: $\begin{eqnarray} g=g^{v_{1}} _{1} ... g^{v_{m}} _{m}=g=g^{\lambda _{1}} _{1} ... g^{\lambda _{m}} _{m} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_{i}\neq \lambda _{i} \end{eqnarray}$ Nun sei $\begin{eqnarray} v_{i}= 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda _{i}=0 \end{eqnarray}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray} g_{i}=\prod \limits_{i\neq j} g_{j}^{\lambda _{j}-v_{j}} \end{eqnarray}$ Nun wäre ja die Minimalität verletzt. Was ich jedoch nicht verstehe ist: Wieso folgt aus der Verletzung der Minimalität, dass die Ordnung von G eine Potenz von 2 ist? Ich bedanke mich bei jedem, der mir den letzten entscheidenden Hinweis geben kann
11.11.2012, 20:11	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du zeigst dadurch doch die Eindeutigkeit der Darstellung $\begin{eqnarray} g = g_1^{v_1} \dotsb g_m^{v_m} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} v_i \in \{0,1\} \end{eqnarray}$ Damit ist eine Bijektion (Es ist sogar ein Isomorphismus) zwischen den Elementen aus G und den Elementen der Menge $\begin{eqnarray} \{0,1\}^m \end{eqnarray}$ hergestellt. Letztere Menge hat jedoch $\begin{eqnarray} 2^m \end{eqnarray}$ Elemente.
12.11.2012, 12:52	Bobby197	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah danke. Jetzt habe ich es verstanden. Ist halt schon etwas her, als ich das gemacht habe^^

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