Ableitung von F. - Fragen + Aufgabe 1

11.11.2012, 15:33

Tipso

Ableitung von F. - Fragen + Aufgabe 1

Hi,

Beim erfrischen der Aufgaben traten Probleme auf.

Hier zusammengefasst, da die ersten beiden Fragen dasselbe Problem behandelt und auch das 3 keinen eigenen Thread wert ist.

1.
$\begin{eqnarray*} y = \frac{3x^2 - 6x^2}{3x} \end{eqnarray*}$

a.
Warum darf ich hier einfach kürzen?

b.
Darf ich auch Quotientenregel anwenden und dafür kürze ich nicht?

c.
Was bedeutet, bringe es in eine Polynomgestalt?
Mache ich es, indem ich kürze?

2.
Hier noch einmal das gleiche Problem, welches mich verwirrt.
Warum darf ich eine Funktion vor dem Ableiten kürzen?

Vor allem, hier in diesem Fall, wo ich doch eigentlich nicht kürzen darf, da ich 9/3 auch 4x^2/4 rechnen müsste, aber es so nicht geht.

Dennoch wird hier mit 9/3= 3 und 4x^2/2x = 2x gekürzt.

$\begin{eqnarray*} y = \frac{9 - 4x^2}{2x - 3} \end{eqnarray*}$

Wie würde es bei veränderten Vorzeichen aussehen?

$\begin{eqnarray*} y = \frac{9 + 4x^2}{2x - 3} \end{eqnarray*}$

Dürfte ich immer noch kürzen?

Was würde sich verändern?

3.
Leite mit u. ohne Verwendung der Produktregel ab:

Wo ist mein Fehler:

$\begin{eqnarray*} y = 4x * cos x \end{eqnarray*}$

a. mit

$\begin{eqnarray*} y' = 4 * cos x + 4x * (-sinx) \end{eqnarray*}$

Warum ist dies das Gleiche wie:

$\begin{eqnarray*} y' = 4 * cos x - 4x * sinx \end{eqnarray*}$

b. ohne
Also mit kettenregel:

$\begin{eqnarray*} y' = (-sinx) * 4 * 4x \end{eqnarray*}$

Was ist der äußere, was der innere Teil? Warum?

lg

11.11.2012, 16:38

Mathewolf

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Zu 1: Es wird nicht einfach aus der Summe gekürzt, das darf man nämlich nicht. Viel eher wurde zunächst faktorisiert und dann gekürzt, also

$\begin{eqnarray*} y=\frac{3x^2-6x^2}{3x}=\frac{3x^2(1-2)}{3x}=x(1-2)=x-2x \end{eqnarray*}$ .

b)
Ja

c)
In diesem Fall, ja. Denn welche Gestalt hat denn eine Polynomfunktion?

$\begin{eqnarray*} f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n \end{eqnarray*}$

Zu 1:

Nein, denn $\begin{eqnarray*} y=\frac{9-4x^2}{2x-3} =-\frac{4x^2-9}{2x-3} \end{eqnarray*}$

Und ja, du darfst auch hier kürzen, wenn du zuvor faktorisiert hast.

$\begin{eqnarray*} -\frac{4x^2-9}{2x-3}=-\frac{(2x+3)(2x-3)}{2x-3}=-2x-3 \end{eqnarray*}$

11.11.2012, 17:46

Tipso

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Zitat:

Original von Mathewolf

Zu 1:

Nein, denn $\begin{eqnarray*} y=\frac{9-4x^2}{2x-3} =-\frac{4x^2-9}{2x-3} \end{eqnarray*}$

Und ja, du darfst auch hier kürzen, wenn du zuvor faktorisiert hast.

$\begin{eqnarray*} -\frac{4x^2-9}{2x-3}=-\frac{(2x+3)(2x-3)}{2x-3}=-2x-3 \end{eqnarray*}$

Warum ist $\begin{eqnarray*} y=\frac{9-4x^2}{2x-3} =-\frac{4x^2-9}{2x-3} \end{eqnarray*}$

das verstehe ich überhaupt nicht, da es für mich wenig Sinn ergibt.

$\begin{eqnarray*} -\frac{4x^2-9}{2x-3}=-\frac{(2x+3)(2x-3)}{2x-3}=-2x-3 \end{eqnarray*}$

Was wendest du hier an?

Binom?!

Der zähler ausgerechnet:

4x2 - 6x + 6x - 9
Es passt auf jeden Fall.
Wie hast du dies gemacht?
Woran erkannt das du das anwenden kannst.

3.

smile

11.11.2012, 18:07

Mathewolf

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Zitat:

Warum ist $\begin{eqnarray*} y=\frac{9-4x^2}{2x-3} =-\frac{4x^2-9}{2x-3} \end{eqnarray*}$

lös doch mal folgende Klammer auf:

$\begin{eqnarray*} -(x^2-9)=? \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} -\frac{4x^2-9}{2x-3}=-\frac{(2x+3)(2x-3)}{2x-3}=-2x-3 \end{eqnarray*}$

Was wendest du hier an? Binom?!

Korrekt.

Zitat:

Wie hast du dies gemacht?
Woran erkannt das du das anwenden kannst.

Dafür sollte man die binomischen Formeln schon kennen und etwas Erfahrung haben, damit man das sieht. Und dazu heißt es nur, rechnen, rechnen, rechnen und nochmals rechnen.

3. Um die Ableitungsfunktion der Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=4x\cos x \end{eqnarray*}$

zu bestimmen, muss auf alle Fälle die Produktregel angewendet werden.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4\cos x+4x(-\sin x)=4\cos x+4x\cdot(-1)\cdot\sin x<br /><br /> =4\cos x+(-1)\cdot x\sin x =4\cos x-4x\sin x \end{eqnarray*}$

Das sollte deine Frage beantworten.

11.11.2012, 18:58

Tipso

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Zitat:

Original von Mathewolf

Zitat:

Warum ist $\begin{eqnarray*} y=\frac{9-4x^2}{2x-3} =-\frac{4x^2-9}{2x-3} \end{eqnarray*}$

lös doch mal folgende Klammer auf:

$\begin{eqnarray*} -(x^2-9)=? \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} -\frac{4x^2-9}{2x-3}=-\frac{(2x+3)(2x-3)}{2x-3}=-2x-3 \end{eqnarray*}$

Was wendest du hier an? Binom?!

Korrekt.

Hier sehr schwer zu erkennen, da sich das Quadrat bei 4x^2 befindet und nicht bei (4x-9)^2

$\begin{eqnarray*} -(x^2-9)=? \end{eqnarray*}$ = -x^2 + 9

Zitat:

Wie hast du dies gemacht?
Woran erkannt das du das anwenden kannst.

Dafür sollte man die binomischen Formeln schon kennen und etwas Erfahrung haben, damit man das sieht. Und dazu heißt es nur, rechnen, rechnen, rechnen und nochmals rechnen.

Zitat:

3. Um die Ableitungsfunktion der Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=4x\cos x \end{eqnarray*}$

zu bestimmen, muss auf alle Fälle die Produktregel angewendet werden.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4\cos x+4x(-\sin x)=4\cos x+4x\cdot(-1)\cdot\sin x<br /><br /> =4\cos x+(-1)\cdot x\sin x =4\cos x-4x\sin x \end{eqnarray*}$

Das sollte deine Frage beantworten.

Thx soweit.

In der Aufgabenstellung steht aber:

Berechne mit u. ohne Porduktregel.

Wie berechne ich es nun "ohne" dieser?
Bzw. Warum geht es ohne nicht.

lg

11.11.2012, 23:29

Mathewolf

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Ohne Anwendung der Produktregel gehst du direkt über den Differentialquotienten.

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h \end{eqnarray*}$

11.11.2012, 23:38

Tipso

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Das bedeutet, die Ableitungsregeln sind eine Abkürzung, welche sich alle auch mit der Differentialquotienten ableiten lassen.

lg

Ps.
Das mache ich Morgen. Bin zu müde.
Danke für deine Hilfe. Gute Nacht.

13.11.2012, 15:24

Tipso

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Zitat:

Original von Mathewolf
Ohne Anwendung der Produktregel gehst du direkt über den Differentialquotienten.

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h \end{eqnarray*}$

Hallo,

soweit habe ich alles nun verstanden, Danke.

Beim differentialquotienten weiß ich aber leider nicht was mein x und was mein h ist?
Woher weiß ich dies?
Was ist es?

lg

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