Stochastische Unabhängigkeit Indikatorfunktion

11.11.2012, 15:41

Theend9219

Stochastische Unabhängigkeit Indikatorfunktion

Hallohallooo,
folgende Aufgabe
Seien $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_1, ... , C_n \in C \end{eqnarray*}$ . Wir betrachten die Indikatorfkt. $\begin{eqnarray*} 1_{C_i}, i =1, ... , n \end{eqnarray*}$ als direkte Zufallsvariablen auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ mit Werten in $\begin{eqnarray*} {0,1} \end{eqnarray*}$ . Sind die beiden folgenden Bedingungen (i) und (ii) äquivalent?
i) Die Ereignisse $\begin{eqnarray*} C_1, ... ,C_n \end{eqnarray*}$ sind stochastisch unabhängig
ii) Die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} 1_{C_1} , .....1_{C_n} \end{eqnarray*}$ sind stochastisch unabhängig.

Angefangen habe ich wiefolgt:
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} P(\cap_{i=1}^n C_i) = \prod_{i=1}^n P(C_i) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1_{\cap_{i=1}^n C_i} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n 1_{C_i} \end{eqnarray*}$
Es gilt zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n P(C_i) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n 1_{C_i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(\cap_{i=1}^n C_i) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n 1_{C_i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(\cap_{i=1}^n C_i) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1_{\cap_{i=1}^n C_i} \end{eqnarray*}$
und nun weiß ich nicht weiter .. kann mir jemand helfen??

11.11.2012, 16:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Theend9219
Es gilt zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n P(C_i) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n 1_{C_i} \end{eqnarray*}$

Nein, das ist nicht zu zeigen, schon allein deswegen, weil dies gar nicht stimmt: Links steht ein Wahrscheinlichkeitswert, rechts eine 0-1-Zufallsgröße. unglücklich

Der Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und deren Indikatorfunktion $\begin{eqnarray*} 1_A \end{eqnarray*}$ besteht über den Erwartungswert

$\begin{eqnarray*} P(A) = E(1_A) \end{eqnarray*}$ ,

vielleicht wolltest du das irgendwie verwenden?

11.11.2012, 16:35

Theend9219

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vielen dank für deine Antwort ..
geh ich dann so vor?

$\begin{eqnarray*} P(A) = E(1_{A}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \prod P(A) = E (1_{A}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \prod P(\cap_{i=1}^n A) = E (1_{A}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \prod P(\cap_{i=1}^n A) = E (1_{\cap_{i=1}^n A}) \end{eqnarray*}$

und nun?

12.11.2012, 09:02

HAL 9000

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Vielleicht wäre es erstmal hilfreich, all die Unabhängigkeitsbegriffe zusammenzutragen. Im folgenden betrachten wir dazu Ereignisse und Zufallsgrößen über dem selben Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A},P) \end{eqnarray*}$ sowie Sigma-Algebren, die Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ sind, sowie beliebige (auch überabzählbare) Indexmengen $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ :

Zitat:

(UE) Unabhängigkeit von Ereignissen
Eine Familie $\begin{eqnarray*} (A_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ von Ereignissen heißt unabhängig, wenn für beliebige endliche Indexmengen $\begin{eqnarray*} J\subseteq I \end{eqnarray*}$ die Gleichung

$\begin{eqnarray*} P\left( \bigcap\limits_{i\in J} A_i \right) = \prod\limits_{i\in J} P(A_i) \end{eqnarray*}$

gilt.

Zitat:

(US) Unabhängigkeit von Sigmaalgebren
Eine Familie $\begin{eqnarray*} (\mathcal{A}_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ von Sigmaalgebren heißt unabhängig, wenn für beliebige endliche Indexmengen $\begin{eqnarray*} J\subseteq I \end{eqnarray*}$ sowie beliebige Auswahlen $\begin{eqnarray*} A_i\in \mathcal{A}_i \end{eqnarray*}$ die Gleichung

$\begin{eqnarray*} P\left( \bigcap\limits_{i\in J} A_i \right) = \prod\limits_{i\in J} P(A_i) \end{eqnarray*}$

gilt.

Zitat:

(UZ) Unabhängigkeit von Zufallsgrößen
Eine Familie $\begin{eqnarray*} (X_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ von Zufallsgrößen heißt unabhängig, wenn die zugehörige Familie $\begin{eqnarray*} \left( X_i^{-1}(\mathcal{B}) \right)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ ihrer Urbild-Sigmaalgebren unabhängig ist.
(Dabei kennzeichnet $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ die Borel-Sigmaalgebra der reellen Zahlen.)

In unserem Falle von Indikator-Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_i=1_{C_i} \end{eqnarray*}$ sind die Urbild-Sigmaalgebren bekanntlich $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_i = 1_{C_i}^{-1}(\mathcal{B}) = \left\{ \emptyset, C_i, C_i^c, \Omega \right\} \end{eqnarray*}$ , womit (UZ) im vorliegenden Fall und unter Einsatz von (US) äquivalent ist zu

Zitat:

(UZI) Unabhängigkeit von Indikator-Zufallsgrößen
Eine Familie $\begin{eqnarray*} (1_{C_i})_{i\in I} \end{eqnarray*}$ von Indikator-Zufallsgrößen heißt unabhängig, wenn für beliebige endliche Indexmengen $\begin{eqnarray*} J\subseteq I \end{eqnarray*}$ sowie beliebige Auswahlen $\begin{eqnarray*} A_i\in \left\{ \emptyset, C_i, C_i^c, \Omega \right\} \end{eqnarray*}$ die Gleichung

$\begin{eqnarray*} P\left( \bigcap\limits_{i\in J} A_i \right) = \prod\limits_{i\in J} P(A_i) \end{eqnarray*}$

gilt.

Man kann sich noch recht schnell überlegen, dass man sich die Fälle $\begin{eqnarray*} A_i=\emptyset \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} A_i=\Omega \end{eqnarray*}$ sparen kann, da sie im ersteren Fall trivial gelten, und im letzteren Fall in "kleineren" Indexauswahlen $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ aufgehen. Bleiben also noch $\begin{eqnarray*} A_i\in \left\{ C_i, C_i^c \right\} \end{eqnarray*}$ als letztlich interessante Optionen.

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