komplexe Lösungen der Gleichung z³=1

08.02.2007, 16:05

ichverstehalles

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komplexe Lösungen der Gleichung z³=1

hi,

ich komm einfach nicht drauf:
Die Frage lautet: Die komplexen LÖsungen der Gleichung z³=1 lauten
a) z=1
b) z= + - 1
c) z=1 und z = -0,5 $\begin{eqnarray*} \pm i\frac{\sqrt{3} }{2} \end{eqnarray*}$

z³=1
z(z²) = 1
z1=1 und z²= 1 dann wurzel
hätt ich z2,3= Wurzel aus eins
wurzel aus eins ist doch acuh eins

ich käm somit entweder auf a aber eigentlich könne es auch b sein, da durch die Wurzel es ja auch -1 sein könnte.

aber mir wurde gesagt, dass c richtig sei und ich weiß einfach nicht warum!

bitte hilf mir einer mal. danke

08.02.2007, 16:15

therisen

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Du weißt doch sicherlich, dass jedes nichtkonstante Polynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb C[X] \end{eqnarray*}$ in seine Linearfaktoren zerfällt - wegen $\begin{eqnarray*} \mathrm{deg} (z^3-1) = 3 \end{eqnarray*}$ besitzt dieses Polynom also genau 3 Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Nach dem Ausschlussprinzip kann dann nur noch c) in Frage kommen.

Ansonsten siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Einheitswurzel

Gruß, therisen

08.02.2007, 16:19

ichverstehalles

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stimmt, jetzt wo dus sagst.

selbst wenn da z^5 stehen würde, wüßt ich, dass sie 5 Nullstellen haben müsste.

achso. boah manchmal.... das ist das gleiche, wie wenn cih fragen würde, warum 1+1 zwei und nicht 0 ergeben würde....

vielen Dank :-)

08.02.2007, 16:25

Lazarus

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RE: komplexe Lösungen der Gleichung z³=1

Zitat:

Original von ichverstehalles
[...]
z³=1
z(z²) = 1
z1=1 und z²= 1 dann wurzel
hätt ich z2,3= Wurzel aus eins
wurzel aus eins ist doch acuh eins
[...]

Ich wills nur der Vollständigkeit anbringen:
Das gilt nur für das Neutrale Element der Addition.
$\begin{eqnarray*} a\cdot x= a \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x\neq 1 \end{eqnarray*}$ ist das nur für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt!

01.05.2007, 12:55

MCF

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hi ihr

smile

und wie siehts aus bei z^3 = i ??

das muss ja 3 nullstellen haben.. wie lös ich das weiter auf wenn ich z = 3. wurzel von i hab??

ganz liebe grüße

01.05.2007, 13:08

therisen

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Hallo,

man sieht sofort, dass $\begin{eqnarray*} z=-\mathrm{i} \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle der Polynomfunktion $\begin{eqnarray*} f(x) = z^3-\mathrm{i} \end{eqnarray*}$ ist. Polynomdivision liefert sodann $\begin{eqnarray*} z^3-\mathrm{i} = (z+\mathrm{i})(z^2-z\mathrm{i}-1) \end{eqnarray*}$

Und jetzt kannst du mit der Mitternachtsformel/pq-Formel arbeiten.

Gruß, therisen

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01.05.2007, 15:34

MCF

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also die erste nullstelle -i ist mir klar, dann nach anwendung der pq-formel komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} ( i \mp \sqrt{5}) \end{eqnarray*}$
ist das so richtig?
vielen dank schonmal smile

smile

01.05.2007, 15:36

therisen

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Statt $\begin{eqnarray*} \sqrt5 \end{eqnarray*}$ müsstest du $\begin{eqnarray*} \sqrt3 \end{eqnarray*}$ herausbekommen.

Gruß, therisen

01.05.2007, 15:43

MCF

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also mithilfe der abc-formel komme ich so auf mein ergebnis.. (vielleicht kannst du es kurz auf fehler prüfen):

$\begin{eqnarray*} \frac{i\pm \sqrt{-i^2-4*1*(-1)}}{2} \end{eqnarray*}$
wo ist der fehler Big Laugh

Big Laugh

01.05.2007, 15:47

therisen

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Es ist $\begin{eqnarray*} b^2 = (-i)^2=i^2=-1 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.05.2007, 15:54

MCF

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ha

Big Laugh

denkfehler smile

smile

vielen vielen dank für deine hilfe

ich tipp dir grad mal noch eine aufgabe, (a-c bei dieser nummer hat super funktioniert, an d verzweifel ich gerade Augenzwinkern

Augenzwinkern

)
vielleicht fällt dir da ein kniff ein:

$\begin{eqnarray*} z^2+(2i-3)z+1+2i=0 \end{eqnarray*}$

mir fehlt da total der anfang

01.05.2007, 15:56

therisen

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$\begin{eqnarray*} a&=1\\b&=2i-3\\c&=1+2i \end{eqnarray*}$

abc-Formel...

01.05.2007, 16:01

MCF

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*(-2i+3) \pm \sqrt{1-20i}) \end{eqnarray*}$

der ansatz ist ja echt nicht schwer, wäre ich aber nicht drauf gekommen...

01.05.2007, 16:54

MCF

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ganz falsch?!

01.05.2007, 16:55

therisen

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Nein, das stimmt schon. Viel mehr kann man da auch nicht vereinfachen Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.05.2007, 18:14

MCF

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kannst du mir vllt noch kurz erklären wie man die o.g. ergebnisse
( $\begin{eqnarray*} z_1 = -i ; z_2,3 = \frac{1}{2} (i\pm \sqrt{3}) \end{eqnarray*}$
in die polarform umschreibt?
habe jetzt als kartesische form (a+bi)
$\begin{eqnarray*} z_1 = 0-i ; z_2,3 = \frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{i}{2} \end{eqnarray*}$
vielen dank für deine mühe, hast mir wirklich weitergeholfen!

01.05.2007, 18:30

therisen

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Zunächst berechnest du den Abstand der Punkte zum Ursprung, d.h. der Reihe nach $\begin{eqnarray*} |z_i| \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} i=1,2,3 \end{eqnarray*}$ . Es gilt $\begin{eqnarray*} |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ (Pythagoras).

Dann berechnest du $\begin{eqnarray*} \varphi_i = \begin{cases} \arccos\frac a{|z_i|}, & \text{ falls } b\geq 0 \\ -\arccos\frac a{|z_i|}, & \text{ falls } b<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Dann gilt $\begin{eqnarray*} z_i = |z_i|\mathrm{e}^{\varphi_i} \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

01.05.2007, 18:43

MCF

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ok, am beispiel von
$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \end{eqnarray*}$

wäre das also...

$\begin{eqnarray*} z_2= \sqrt{ {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^2+{(\frac{i}{2})}^2} \end{eqnarray*}$
wäre dann also
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

da b > 0 ist, ist vieh also arccos (wurzel 3/ 2)

und insgesamt:

$\begin{eqnarray*} z_2= \sqrt{\frac{1}{2}}}* e^{arccos (\frac{\sqrt 3}{2}) \end{eqnarray*}$

ok so?

01.05.2007, 18:51

therisen

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Zitat:

Original von MCF
ok, am beispiel von
$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \end{eqnarray*}$

wäre das also...

$\begin{eqnarray*} z_2= \sqrt{ {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^2+{(\frac{i}{2})}^2} \end{eqnarray*}$

Nein, lies genau: Das i hat nichts unter der Wurzel verloren.

01.05.2007, 19:06

MCF

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ach ich sehs.. anstatt dem i muss eine 1 hin Augenzwinkern

Augenzwinkern

also muss die zwischenlösung 1 lauten..

und insgesamt:

$\begin{eqnarray*} z_2= \sqrt{1}* e^{arccos (\frac{\sqrt 3}{2}}) \end{eqnarray*}$
besser?

01.05.2007, 19:53

therisen

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Ja, beachte aber, dass $\begin{eqnarray*} \arccos\frac{\sqrt{3}}2=\frac\pi6 \end{eqnarray*}$ gilt.

Und schau dir nochmal meinen obigen Beitrag an, bei der Formel für den Drehwinkel habe ich $\begin{eqnarray*} z_i \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} |z_i| \end{eqnarray*}$ ersetzt.

Gruß, therisen

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