Vollständige Induktion

11.11.2012, 15:52	pat1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Meine Frage: Ich habe folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{4k^2-1}=\frac{n}{1+2n} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zuerst macht man ja den Induktionsanfang n=1 $\begin{eqnarray} \frac{1}{41-1}=\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+21}=\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ Jetzt der Induktionsschluss n -> n+1 $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{4k^2-1}=\frac{n+1}{1+2(n+1)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{4k^2 -1}\frac{1}{4(n+1)^2 -1}=\frac{n+1}{2n+3} \end{eqnarray*}$ ab hier komme ich irgendwie nicht weiter... wie muss ich weiter vorgehen?
11.11.2012, 16:34	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast beim Induktionsschritt das Summenzeichen vergessen, aber sonst ist es richtig. Im Grunde bist Du doch jetzt fertig, weil $\begin{eqnarray} \frac{n+1}{2n+3} = \frac{n+1}{1+2(n+1)} \end{eqnarray}$ , also genau das, was zu zeigen ist.
11.11.2012, 16:49	pat1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verstehe ich jetzt irgendwie nicht was beweist das? $\begin{eqnarray} \frac{n+1}{2n+3}=\frac{n+1}{1+2(n+1)} \end{eqnarray}$ Ich habe gedacht, dass man jetzt $\begin{eqnarray} \frac{1}{4k^2 -1}+\frac{1}{4(n+1)^2 -1} \end{eqnarray}$ ausrechnen muss um auf das zu kommen: $\begin{eqnarray} \frac{n+1}{2n+3} \end{eqnarray}$
11.11.2012, 16:59	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, dann habe ich Dich missverstanden. Zu zeigen: $\begin{eqnarray} \sum^{n+1}_{k=0}{ \frac{1}{4k²-1}} = \frac{n+1}{1+2(n+1)} \end{eqnarray}$ Wir nehmen den ersten Term und versuchen ihn so umzuformen, dass wir die Induktionsvoraussetzung anwenden können: $\begin{eqnarray} \sum^{n+1}_{k=0}{ \frac{1}{4k²-1}} = \sum^{n}_{k=0}{ \frac{1}{4k²-1}} + \frac{1}{4(n+1)²-1} \end{eqnarray}$ ...
11.11.2012, 19:24	pat1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich habs: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{4k^2 -1}+\frac{1}{4(n+1)^2 -1} = \frac{n}{1+2n}+\frac{1}{4(n+1)^2 -1} \end{eqnarray}$ und raus kommen sollte: $\begin{eqnarray} \frac{n+1}{2n+3} \end{eqnarray}$ Doch ein Problem habe ich noch: Ich komme nicht auf das Ergebnis...
12.11.2012, 09:52	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Wende auf $\begin{eqnarray} 4(n+1)^2 -1 \end{eqnarray}$ die 3. binomische Formel an.
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