Ableitung von F. - Fragen + Aufgabe 3

11.11.2012, 17:09

Tipso

Ableitung von F. - Fragen + Aufgabe 3

Hallo,

Es geht auch schon weiter, ich muss heute noch etwas lernen von dem ganzen Freude

Aufgeteilt wieder in zwei Fragen und einer Aufgabe:

1.
$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{2} * \left(3x\right)^{-1/2}*3 - \frac{2}{3}*\left(2x\right)^{-2/3} \end{eqnarray*}$

Wie erhalte ich daraus:

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{\sqrt{3}}{\left(2*\sqrt{x} \right) } - \frac{2}{3\left(\sqrt[3]{\left(2x\right)^2 } \right) } \end{eqnarray*}$

verstehen tue ich hier vor allem diesen Bereich nicht:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

2.

Berechne ohne die Verwendung der kettenregel:

$\begin{eqnarray*} y =\left(2x - 5\right)^3 \end{eqnarray*}$

a.
Warum darf ich hier die Potenzregel verwenden, obwohl ich hier zwei x-Werte also 2 Funktionen habe und hier darf ich ja normalerweiße nur mit der kettenregel auflösen?

b.
Wenn ich die Binomische Formel des 3 Grades nehmen würde um es aufzulösen, wie verändert sich das Vorzeichen?

a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Was für eine Regel wird hier verwendet bzw. kommt zum Einsatz?

3.

Diese Aufgabe macht mir Schwierigkeiten:

Bilde die Ableitungsf. und vergleiche!

(1) $\begin{eqnarray*} y = cos \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} y =\frac{1}{cos x} \end{eqnarray*}$

(1)

$\begin{eqnarray*} y =cos x^{-1} \end{eqnarray*}$

Hier ist

$\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ die äußere

und

$\begin{eqnarray*} cos x \end{eqnarray*}$ die innere Funktion?

Was ich hier nicht verstehe?
Warum aus cos = cos x wird?

Ist cos einfach immer cos x oder wird es vom x genommen?

(1)

$\begin{eqnarray*} y = -1* (cosx)^{-3/2} * (-sinx) \end{eqnarray*}$

(2)

$\begin{eqnarray*} y =\frac{1}{cos x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = (cosx)^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = -(cosx)^{-2} * (-sinx) \end{eqnarray*}$

Muss ich den 1er dazu schreiben?

lg

11.11.2012, 21:57

Jetlib

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1.

Potenzgesetze anwenden!

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * \left(3x\right)^{-1/2}*3 = \frac{1}{2} * 3^{-\frac{1}{2}} * 3^{1} * x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3^{-\frac{1}{2}+1}}{2*x^{\frac{1}{2}}}=\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2*\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{3}}{2*\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

2.a)

Zitat:

Warum darf ich hier die Potenzregel verwenden, obwohl ich hier zwei x-Werte also 2 Funktionen habe und hier darf ich ja normalerweiße nur mit der kettenregel auflösen?

Sorry, verstehe ich nicht, warum solltest du 2 Funktionen haben?
Du kannst die Funktion auch ohne Kettenregel ableiten.

$\begin{eqnarray*} y =\left(2x - 5\right)^{3} = \left(2x - 5\right)* \left(2x - 5\right)^{2}=\left(2x - 5\right)*\left(4x^{2}-20x+25\right) \end{eqnarray*}$

2.b)

Zitat:

Wenn ich die Binomische Formel des 3 Grades nehmen würde um es aufzulösen, wie verändert sich das Vorzeichen?a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Versuch es selbst herauszufinden bzw. siehe oben

3.

$\begin{eqnarray*} cos(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

Nein die innere ist $\begin{eqnarray*} v = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
und die äußere ist $\begin{eqnarray*} u=cos(v) \end{eqnarray*}$

Die Ableitung lautet also:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-sin(\frac{1}{x})*(-\frac{1}{x^{2}})=sin(\frac{1}{x})*(\frac{1}{x^{2}}) \end{eqnarray*}$

Die Ableitung der zweiten Funktion stimmt. Du musst den 1er natürlich nicht dazuschreiben, aber es zeigt, dass du das Ganze richtig verstanden hast, wenn du es tust.

11.11.2012, 23:48

Tipso

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Zitat:

Original von Jetlib
1.

Potenzgesetze anwenden!

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * \left(3x\right)^{-1/2}*3 = \frac{1}{2} * 3^{-\frac{1}{2}} * 3^{1} * x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3^{-\frac{1}{2}+1}}{2*x^{\frac{1}{2}}}=\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2*\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{3}}{2*\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Jetzt verstehe ich es. Danke.

2.a)

Zitat:

Warum darf ich hier die Potenzregel verwenden, obwohl ich hier zwei x-Werte also 2 Funktionen habe und hier darf ich ja normalerweiße nur mit der kettenregel auflösen?

Sorry, verstehe ich nicht, warum solltest du 2 Funktionen haben?
Du kannst die Funktion auch ohne Kettenregel ableiten.

Ich meine damit 2 - x-Werte.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y =\left(2x - 5\right)^{3} = \left(2x - 5\right)* \left(2x - 5\right)^{2}=\left(2x - 5\right)*\left(4x^{2}-20x+25\right) \end{eqnarray*}$

Du verwendest aber nicht trinomische Formel?

Zitat:

2.b)

Zitat:

Wenn ich die Binomische Formel des 3 Grades nehmen würde um es aufzulösen, wie verändert sich das Vorzeichen?a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Versuch es selbst herauszufinden bzw. siehe oben

Das ist nicht die Trinomische Formel.

Zitat:

3.

$\begin{eqnarray*} cos(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

Nein die innere ist $\begin{eqnarray*} v = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
und die äußere ist $\begin{eqnarray*} u=cos(v) \end{eqnarray*}$

Warum ist unsere äußere = cos (v) es müsste doch nur cos sein?
cos = cosx ?

Zitat:

Die Ableitung lautet also:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-sin(\frac{1}{x})*(-\frac{1}{x^{2}})=sin(\frac{1}{x})*(\frac{1}{x^{2}}) \end{eqnarray*}$

Darf ich hier weiter vereinfache? (1/x^2) * (1/x) = (1/x^3)

Zitat:

Die Ableitung der zweiten Funktion stimmt. Du musst den 1er natürlich nicht dazuschreiben, aber es zeigt, dass du das Ganze richtig verstanden hast, wenn du es tust.

Verstehe.

lg

Gute Nacht.
Danke.

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