Rekusiv definierte Folge

11.11.2012, 18:17

Monoid

Rekusiv definierte Folge

Hallo,

Ich habe folgende Folge und will sie Funktional definieren:

$\begin{eqnarray*} a_{n} := a_{n-1}+(n-1) \end{eqnarray*}$

Ich habe heraus bekommen, dass man sie wie folgt darstellen kann $\begin{eqnarray*} a_{n}=1+m(n-1) \end{eqnarray*}$ wobei m eine natürliche positive Zahl ist. Nur muss ich m irgendwie im Zusammenhang mit n darstellen, was ich nicht hinkriege. unglücklich

Könntet ihr mir helfen?

11.11.2012, 18:22

Math1986

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RE: Rekusiv definierte Folge
Es fehlt die Angabe für den Startwert der Rekursion.

12.11.2012, 16:57

Monoid

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RE: Rekusiv definierte Folge
Oh, ja, der startwert ist 1.

12.11.2012, 16:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathemathemathe
Oh, ja, der startwert ist 1.

Bisschen genauer, bitte: $\begin{eqnarray*} a_0=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$ ...

12.11.2012, 17:05

Monoid

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$\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$

12.11.2012, 18:01

Math1986

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Wie sehen dann die folgenden $\begin{eqnarray*} a_2,a_3,\ldots \end{eqnarray*}$ aus? Versuche, daraus eine explizite Darstellung herzuleiten und beweise diese durch vollständige Induktion.

15.11.2012, 15:12

Monoid

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Ich habe raus, dass $\begin{eqnarray*} a_{n}=1+\sum_{k=1}^{n-1} (n-k) \end{eqnarray*}$ ist. An dem Induktionsbeweis arbeite ich noch.

15.11.2012, 15:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathemathemathe
Ich habe raus, dass $\begin{eqnarray*} a_{n}=1+\sum_{k=1}^{n-1} (n-k) \end{eqnarray*}$ ist.

Warum lässt du das in dieser Summendarstellung, statt es gleich geschlossen auszurechnen? verwirrt

15.11.2012, 15:24

Mystic

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Zitat:

Original von Mathemathemathe
Ich habe raus, dass $\begin{eqnarray*} a_{n}=1+\sum_{k=1}^{n-1} (n-k) \end{eqnarray*}$ ist. An dem Induktionsbeweis arbeite ich noch.

Du könntest dir die Sache etwas leichter machen, wenn du die Summanden in der Summe in verkehrter Reihenfolge anschreibst, also dann als

$\begin{eqnarray*} a_{n}=1+\sum_{k=1}^{n-1} k \end{eqnarray*}$

Und ja, dann vielleicht noch nachlesen, wie der kleine Gauß an solche Probleme herangegangen ist... Big Laugh

15.11.2012, 15:32

Monoid

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Vereinfacht wäre es doch $\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)n}{2}+1 \end{eqnarray*}$ ?

Gauß kenne ich. Erstanunlich aber echt!

Das mit dem Verkehrherum verstehe nicht. Aber ich hoffe es ist nicht nötig.

15.11.2012, 15:37

Mystic

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Zitat:

Original von Mathemathemathe
Vereinfacht wäre es doch $\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)n}{2}+1 \end{eqnarray*}$ ?

Ja, stimmt... Freude

Zitat:

Original von Mathemathemathe
Gauß kenne ich. Erstanunlich aber echt!

Naja, so erstaunlich, dass du ihn kennst, finde ich das nun auch wieder nicht... Seit Kehlmann's unsäglichem Buch (und neuerdings auch Film!) ist Gauß ja in aller Munde... Big Laugh

Zitat:

Original von Mathemathemathe
Das mit dem Verkehrherum verstehe nicht. Aber ich hoffe es ist nicht nötig.

Macht nichts, anscheinend hast du es ja auch so geschafft... Big Laugh

15.11.2012, 15:42

Monoid

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Nein, ich meine nicht, dass es erstaunlich ist, dass ich ihn kenne. Und sein Summenverfahren da. Sondern ich meine ER ist unglaublich erstaunlich. Big Laugh

leider wurde er später Astronom und ließ die Mathematik liegen...

15.11.2012, 16:19

Monoid

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Richtig?

(I.A.): $\begin{eqnarray*} n \to 1 : \text{richtig}<br /> a_{1}:=1=0+1=\frac{0 \cdot 1}{2}+1 \end{eqnarray*}$

(I.S.): $\begin{eqnarray*} n \to n+1 :\text{richtig}<br /> a_{n+1}:=a_{n}+(n-1)= \frac{(n-1)n}{2}+1+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}+n=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

15.11.2012, 17:04

Monoid

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Jetzt zur Frage warum ich diese Frage stelle:

Ich will an dem diejährigen Bundeswettbewerb für Matheamatik teilnehmen, und habe mir ein parr Aufgaben der Jahre herausgefischt. u.a. die Aufgabe: " Lisa geht um einen Tisch mit n Stühlen. Vor jedem Stuhl steht eine Schale. Sie fängt bei einer beliebigen Schale an, eine Murmel hinein zu werfen. Dann nimmt sie im Uhrzeigersinn die nächtse Schale und tut wieder eine Murmel hiniein. Dann macht sie 1 Abstand und tut hinein, dann 2 Abstand... Sie hört auf, wenn in allen Schlaen mindestens eine Murmel liegt. Wann tritt dies auf?"

Nun, man hat sowas wie die n-Uhr-Arithmetik. Wenn m die m. Schale bezeichnet, ist wenn m>n gilt, m=m-n. Wenn aucb m-n>n ist, s.o. .

So erhält man die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n}:= a_{n-1}+(n-1) \text{mit } a_{1}=1 \end{eqnarray*}$ dann habe ich nicht mehr m-n sondern $\begin{eqnarray*} a_{n}-n=\frac{n(n-3)}{2}+1 \end{eqnarray*}$ .

Nun muss ich aber noch herausfinden für wleche n der Term m-n ("vereinfacht") alle natürlichen Zahlen sein kann. Da ist mein Problem...

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