Partialsummenfolge der harmonischen Reihe

15.07.2004, 15:47

Mazze

Partialsummenfolge der harmonischen Reihe

Ich hab mal wieder bissel mit der harmonischen Reihe rumgespielt und mich gefragt wie die Partialsummenfolge aussieht. Denn wenn man die hätte könnte man die Divergenz der Reihe auch über die Divergenz der Partialsummenfolge zeigen, nur fällt mir keine Bildungsvorschrift dafür ein

$\begin{eqnarray*} S_1= 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_3 = \frac{3}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_4 = \frac{11}{6} + \frac{1}{4} = \frac{25}{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_5 = \frac{25}{12} + \frac{1}{5} = \frac{137}{60} \end{eqnarray*}$

Ich krieg da Partout kein System draus , ihr vieleicht? : /

15.07.2004, 16:08

Irrlicht

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mazze,

Nein, eine Formel bekomme ich auch nicht hin, aber ich bekomme eine Abschaetzung
$\begin{eqnarray*} S_2 - S_1 = \frac{1}{2}, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_4 - S_2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_8 - S_4 = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} S_{2^i} - S_{2^i-1} = \frac{1}{2^{i-1}+1} + ... + \frac{1}{2^i} > \frac{2^{i}-2^{i-1}}{2^i} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ fuer i groesser als 1.
Das ist doch auch huebsch, oder?

*g* Ich bemuehte zu deiner Frage mal mein Maple:
$\begin{eqnarray*} S_n = \frac{\Gamma^\prime(n+1)}{\Gamma(n)}+\gamma \end{eqnarray*}$
Dabei ist $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ die Gammafunktion und $\begin{eqnarray*} \gamma=\lim_{n\to \infty} (S_n-\ln(n)) \approx 0.577... \end{eqnarray*}$

Lieben Gruss,
Irrlicht

15.07.2004, 16:14

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja diese Abschätzung ist ja fast das was man mit dem Summenbeweis tut. Aber gut ist das es eine Abschätzung nach unten ist, und die 0,5 Aufsummiert ist nunmal unendlich. Und wenn eine divergente Minorante existiert => das (a)_n divergiert smile

15.07.2004, 16:29

Irrlicht

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab dir oben editiert und dir die von Maple ausgeworfene Formel getext. smile

15.07.2004, 16:32

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Das problem an der Sache ist, was ist die Gamma Funktion ?? :P

Maple kann Partialsummenfolgen von Reihen aufstellen?

edit:

Hab mal ins Lexikon geguckt, sieht ja nett aus das Teil : )
Ein divergenz Beweis von dem Teil ist sicher nicht ganz so einfach :>

16.07.2004, 15:37

SirJective

Auf diesen Beitrag antworten »

Divergenzbeweis von welchem "Teil"? Der Gamma-Funktion? Deren Divergenz für n gegen unendlich folgt daraus, dass sie die Fakultät interpoliert.

Maple kann für Partialsummenfolgen meistens (mehr oder weniger) explizite Darstellungen angeben.

Ist a(k) der k-te Koeffizient, dann liefert

code:
1:	sum(a(k),k=1..n);

die n-te Partialsumme. Je nach Art der Koeffizienten können dabei aber auch Spezialfunktionen auftreten, die man in der Schule (und auch in der Uni) normalerweise nicht kennenlernt.

Gruss,
SirJective

Neue Frage »

Antworten »

Partialsummenfolge der harmonischen Reihe

Verwandte Themen