Peter-Weyl-Theorem

12.11.2012, 10:38	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Peter-Weyl-Theorem Hallo, ich habe gerade ein Problem beim Verständnis eines Schrittes im Beweis zum Peter-Weyl-Theorem (kompakte Lie-Gruppen). Die vorliegende Version stammt aus dem Buch von Bröcker und tom Dieck (Rep. of Compact Lie Gr.): Der Satz sagt: (G ist die komp. Liegruppe) (i) Die darstellenden Funktionen sind dicht in $\begin{eqnarray} C^0(G) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L^2(G) \end{eqnarray}$ (ii) Die irreduziblen Charaktere erzeugen einen dichten Teilraum des Raums der stetigen Klassenfunktionen. Es geht konkret um: (i) => (ii). Ich schreibe das mal bis zum Schritt rein: Wer haben also (i) gezeigt. Sei nun $\begin{eqnarray} \varphi: G\to \mathbb{K} \end{eqnarray}$ eine stetige Klassenfunktion, d.h. $\begin{eqnarray} \varphi (gxg^{-1})=\varphi (x) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} g,x\in G \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ . Nach (i) gibt es dann eine darstellende Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} \\|\varphi-f\\|_{\infty}<\varepsilon \end{eqnarray}$ Definiere nun $\begin{eqnarray} \psi : x\mapsto \int_{G} f(gxg^{-1})\,dg \end{eqnarray}$ (dg ist das Haar-Maß auf G) Wegen der Invarianz des Integrals ist das eine Klassenfunktion. Frage: Warum gilt jetzt $\begin{eqnarray} \\|\varphi-\psi\\|_{\infty}<\varepsilon \end{eqnarray}$ ? Das ist der Schritt, den ich nicht verstehe. Bemerkung: Da wir einen Teilraum der stetigen Funktionen betrachten, nehme ich an (!), dass die verwendete Norm wie im Buch definiert die Supremumsnorm darstellt. Alternativ gilt (i) ja auch für die L^2-Norm - aber ich sehe auch nicht, warum $\begin{eqnarray} \\|\varphi-\psi \\|_2<\varepsilon \end{eqnarray}$ folgen sollte. Jemand eine Idee, um meine Blockade zu lösen? Gruß MI
16.11.2012, 20:39	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, $\begin{eqnarray} \varphi(x) = \varphi(gxg^{-1}) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ impliziert $\begin{eqnarray} \varphi(x) = \int_G \varphi(x) \, dg = \int_G \varphi(gxg^{-1})\, dg \end{eqnarray}$ falls das Haar-Mass normalisiert ist. Grüsse, g'phd

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