Vollständige Induktion

12.11.2012, 11:51

Creeepy

Vollständige Induktion

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \left(a+b+c\right)^{n} =\sum\limits_{i+j+k=n} \frac{n!}{i!j!k!} a^i b^j c^k \end{eqnarray*}$

Das ist meine Aufgabe!Ich muss diese Aussage beweisen.Dabei ist $\begin{eqnarray*} a,b,c \in R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \in N ohne 0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hatte keine Ahnung, wie ich das mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzen beweisen sollte, also wollte ich es per Vollständiger Induktion lösen.
Also über n. Jetzt war mein Problem, dass das Summenzeichen keine Grenze gegeben hat! Ich hatte keine Ahnung, wie ich das anfangen sollte. Also habe ich es aber trotzdem gemacht^^
Also:

$\begin{eqnarray*} \left(a+b+c\right)^{n} =\sum\limits_{i+j+k=n} \frac{n!}{i!j!k!} a^i b^j c^k \end{eqnarray*}$ für n: n+1
$\begin{eqnarray*} \left(a+b+c\right)^{n+1} = \left(a+b+c\right)^{n}\left(a+b+c\right) = \left(a+b+c\right)\sum\limits_{i+j+k=n} \frac{n!}{i!j!k!} a^i b^j c^k a\sum\limits_{i+j+k=n} \frac{n!}{i!j!k!} a^i b^j c^k +b\sum\limits_{i+j+k=n} \frac{n!}{i!j!k!} a^i b^j c^k+c\sum\limits_{i+j+k=n} \frac{n!}{i!j!k!} a^i b^j c^k =\sum\limits_{i+j+k=n} \frac{n!}{i!j!k!} a^{i+1} b^j c^k+\sum\limits_{i+j+k=n} \frac{n!}{i!j!k!} a^i b^{j+1} c^k+\sum\limits_{i+j+k=n} \frac{n!}{i!j!k!} a^i b^j c^{k+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt rätsel ich, wie ich diese Summen wieder zusammenführen kann, dass auch am Ende wieder das rauskommt, was ich zeigen will! Ich hoffe mir kann jemand helfen!

12.11.2012, 12:07

RavenOnJ

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Du kannst erst mal $\begin{eqnarray*} (a+b+c)^n \end{eqnarray*}$ auffassen als $\begin{eqnarray*} (a+(b+c))^n \end{eqnarray*}$ und darauf die binomische Formel anwenden. Die Ausdrücke $\begin{eqnarray*} (b+c)^k \end{eqnarray*}$ kannst du dann wiederum gemäß der Formel auflösen.

Gruß
Peter

12.11.2012, 12:29

Creeepy

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Ist das wirklich notwendig? Ich meine, ich habe die Summen ja nun schon in einer Form, in der ich sie "nur" zusammenfügen muss...
Oder habe ich da etwas falsch gemacht?

12.11.2012, 13:05

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Creeepy
Ist das wirklich notwendig?

Ob das "notwendig" ist, weiß ich nicht. Auf alle ist es ein relativ einfacher Weg, um zu deiner Formel zu kommen.

Gruß
Peter

12.11.2012, 13:55

Creeepy

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Also dann mache ich das mal!

$\begin{eqnarray*} \left(a+\left(b+c\right) \right)^n = \sum\limits_{i+j+k=n} \frac{n!}{i!j!k!} \cdot a^i b^j c^k \end{eqnarray*}$

Dann kann ich ja theoretisch den Binomischen Lehrsatz anwenden:

$\begin{eqnarray*} \left(a+\left(b+c\right) \right)^n = \sum\limits_{f=0}^n \begin{pmatrix} n \\ f \end{pmatrix} \cdot a^f \left(b+c\right)^{n-f} \end{eqnarray*}$

Und wenn ich den gleichsetzte? Was mache ich dann?

$\begin{eqnarray*} \left(a+\left(b+c\right) \right)^n = \sum\limits_{f=0}^n \begin{pmatrix} n \\ f \end{pmatrix} \cdot a^f \left(b+c\right)^{n-f} =\sum\limits_{i+j+k=n} \frac{n!}{i!j!k!} \cdot a^i b^j c^k \end{eqnarray*}$

Oder muss ich den überhaupt gleichsetzten? Ich komm da gerade überhaupt nicht weiter...
Verdammt vielleicht sollte ich erstmal was anderes machen und den Kopf frei bekommen!

12.11.2012, 15:28

RavenOnJ

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und jetzt benutze für
$\begin{eqnarray*} \left(b+c\right)^{n-f} \end{eqnarray*}$
wieder die binomische Gleichung. Du bekommst dann eine Doppelsumme, die du vereinfachen kannst.

Gruß
Peter

12.11.2012, 17:55

Creeepy

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Also gut:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{f=0}^n \begin{pmatrix} n \\ f \end{pmatrix} \cdot a^f \sum\limits_{t=0}^{n-f} \begin{pmatrix} {n-f} \\ t \end{pmatrix} b^{n-f} c^{\left(n-f\right) -t} \end{eqnarray*}$

Dann muss ich ja irgendwie zeigen, dass das dieser Formel:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i+j+k=1} \frac{n!}{i!j!k!} \cdot a^i b^j c^k \end{eqnarray*}$

entspricht.

Wie füge ich das jetzt zusammen?

Also ich mache das mal einfach mit dem Binominalkoeffizienten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {n-f} \\ l \end{pmatrix} = \frac{\left(n\right)!\left(n-f\right)! }{\left(f\right)!\left(n-f\right)!\left(l!\left(\left(n-f\right)-l \right)! \right) } \end{eqnarray*}$

Das zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {n-f} \\ l \end{pmatrix} = \frac{\left(n\right)! }{\left(f\right)!\left(l!\left(\left(n-f\right)-l \right)! \right) } \end{eqnarray*}$

Wenn man sich jetzt aus der ersten Gleichung aus der Aufgabe i,j und k anschaut, dann entspricht:

$\begin{eqnarray*} i:=f, l:=j, k:= \left(\left(n-f\right) -l\right) \end{eqnarray*}$

Also habe ich stehen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{f=0}^n \sum\limits_{l=0}^{n-f} \frac{n\! }{i!j!k! }a^ib^jc^k \end{eqnarray*}$

Wie mache ich das jetzt mit den Grenzen der Summenzeichen? Denn sonst hätte ich es ja, wie es gefragt ist!

12.11.2012, 18:02

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Creeepy
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{f=0}^n \begin{pmatrix} n \\ f \end{pmatrix} \cdot a^f \sum\limits_{t=0}^{n-f} \begin{pmatrix} {n-f} \\ t \end{pmatrix} b^{n-f} c^{\left(n-f\right) -t} \end{eqnarray*}$

Du hast hier einen Fehler im Exponenten von b.

12.11.2012, 18:06

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Creeepy

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i+j+k=1} \frac{n!}{i!j!k!} \cdot a^i b^j c^k \end{eqnarray*}$

Außerdem muss es für die Summe heißen $\begin{align*} i+j+k=n \end{align*}$

12.11.2012, 18:18

Creeepy

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ja der Exponent von b ist falsch, tut mir Leid auch sollte das nicht t sein im Binominalkoeffizienten, sondern l

Aber was mache ich jetzt mit den Grenzen?

12.11.2012, 18:22

RavenOnJ

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Zitat:

Original von RavenOnJ

Zitat:

Original von Creeepy

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i+j+k=1} \frac{n!}{i!j!k!} \cdot a^i b^j c^k \end{eqnarray*}$

Außerdem muss es für die Summe heißen $\begin{align*} i+j+k=n \end{align*}$

beachte mal bitte noch dieses Post.

Schreib das Ganze nochmal mit den Korrekturen hin und dir sollte auffallen, wie du zu dem Ergebnis kommst.

12.11.2012, 18:33

Creeepy

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