dichte funktion zeigen

08.02.2007, 16:53

ran2

dichte funktion zeigen

Hallo zusammen,

eigentlich ein einfaches problem, aber ich drehe ich mich grad im kreis.

ich soll zeigen dass theta / x ^ 2 eine dichtefuntkion ist.
ansonsten ist noch gegeben: 0 < theta < x .

gut positiv, ist es auf jeden fall. allerdings kann ich irgendwie nicht zeigen dass das integral 1 ist. beim integrieren kommt bei mir (-)theta*x^-1 und da kann ich die grenzen einsetzen wie ich will , es wird nicht 1.

gibt es irgendwie eine andere möglichkeit ? evtl zähler und nenner in den exp nehmen ? oder ganz ohne integral ?

vielen dank schon mal !

08.02.2007, 16:56

therisen

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Verschoben

08.02.2007, 17:15

Divergenz

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RE: dichte funktion zeigen
Hallo,

ich schätze $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ ist irgendwie ne Funktion von x, aber um hier eine qualifizierte Antwort geben zu können, muss man die schon kennen. Irgendwas fehlt hier also noch! Auf jeden Fall ist dien Vorgehen vollkommen korrekt. Du musst halt die Integrierbarkeit (nach Lebesque) zeigen, und das Integral über die gesamte reelle Achse auf 1 berechnen können!

08.02.2007, 17:33

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Zitat:

Original von ran2
ich soll zeigen dass theta / x ^ 2 eine dichtefuntkion ist.
ansonsten ist noch gegeben: 0 < theta < x .

Wenn du von einer (Dichte-)Funktion sprichst, solltest du sagen, was Argument und was nur Parameter ist. Ich vermute mal, dass $\begin{eqnarray*} \theta>0 \end{eqnarray*}$ hier der Parameter ist, und

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \frac{\theta}{x^2} & \;\mbox{für}\; x>\theta\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

die Dichtefunktion. Sowas musst du dazusagen, sonst kann es zu solchen verständlichen Missverständnissen wie bei Divergenz kommen!

08.02.2007, 18:38

ran2

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sorry & danke arthur. sowie du geschrieben hast, ist die funktion.
ich soll jetzt zeigen, dass diese funktion eine dichtefunktion ist.
soweit ich weiss muss die funktion

a) immer positiv sein

b) ihr integral 1

a) ist offensichtlich klar. nur mit b) komme ich nicht zu Rande.
gibt es eine andere möglichkeit das zu zeigen als über das integral oder wie funktioniert es mit dem integral ?

08.02.2007, 19:30

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Zitat:

Original von ran2
gibt es eine andere möglichkeit das zu zeigen als über das integral

Nein - irgendwie läuft es immer auf das Integral hinaus. Was ist denn auch so schlimm daran? Einfach loslegen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ f(x) ~ \dd x = \int\limits_{\theta}^{\infty} ~ \frac{\theta}{x^2} ~ \dd x = \theta ~ \int\limits_{\theta}^{\infty} ~ \frac{1}{x^2} ~ \dd x\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Warum beginnt das Integral rechts erst bei der unteren Grenze $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ? Nun, einfach weil die Dichte für kleinere $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gleich Null ist, daher kann dieser Integrationsbereich gleich weggelassen werden.

Und sowas wie (*) wirst du doch weiter ausrechnen können!

08.02.2007, 20:50

ran2

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okay integral also.
vielleicht war ich da auch zu blöd für Hammer

bei mir ergibt das:

-x^-1 , wenn ich deine grenzen nehme würde komme ich auf:

- 1/unendlich + 0 kommen. also 0.

ich habe auch versucht die grenzen von 0 bis x zu nehmen (und halt das ganze als funktion von u oder so zu sehen um x einsetzen zu können) ,

das bringt auch nicht viel: - theta/x und x muss ja positiv sein... ich bin echt überfragt, vielleicht habe ich auch nur die falsche stammfkt.

muss aber gehen...

besten dank!

08.02.2007, 20:57

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Wieso denn "+0" ???

Mit Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(x) = -\frac{\theta}{x} \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\theta}^{\infty} ~ \frac{\theta}{x^2} ~ \dd x = F(\infty)-F(\theta) = 0-\left( - \frac{\theta}{\theta} \right) = 1 \end{eqnarray*}$ .

08.02.2007, 21:44

ran2

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mille mille grazie. Gott

ich sahs wohl schon zu lange vor dem gleichen fach. da hätte ich ja auch durch ausprobieren draufkommen können. aber rein mathematisch.. wie kommt man darauf
die grenzen theta und unendlich zu nehmen ?

es war angegeben: 0 < theta < x ... ist das unendlich immer in den integral grenzen dabei ?
hmm muss ja eigentlich..

wie auch immer danke auf jeden fall ! ich denke auch noch bisschen drüber nach Augenzwinkern

08.02.2007, 21:46

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Wieso diese Grenzen? Hab ich doch schon lang und breit erklärt, das liegt an der Struktur dieser Dichte

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \frac{\theta}{x^2} & \;\mbox{für}\; x>\theta\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

08.02.2007, 23:06

ran2

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yo danke. langsam ist angekommen - danke für dein geduld Augenzwinkern

!

irgendwie haben ich mich dagegen gesträubt von theta bis unendlich zu integrieren... keiner weiss warum ich auch nicht.. Big Laugh

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